Proiezione azimutale equa e planare

Avete presente il logo delle Nazioni Unite (che oltre ad essere una associazione dovrebbe essere un binomio che ci suoni da monito)? Beh, è la mappa della Terra, ma se ci prestate venti secondi di attenzione vi rendete conto che non è la classica “cartina geografica” a cui siamo abituati.

BandieraNazioniUnite.png

Il motivo (non del perché sia stata scelta a bandiera delle Nazioni Unite, che posso immaginarlo in base alla spiegazione che segue, ma del quale non ho effettiva evidenza) è abbastanza semplice: si tratta di una proiezione azimutale equidistante.

Come il nome suggerisce, tale proiezione lascia inalterate le distanze dal punto scelto come origine della proiezione. Praticamente sia l’azimut che la distanza di ciascun punto sulla mappa è proporzionatamente ricollocabile dalla sua posizione relativa rispetto al centro scelto come origine della mappa. Ça va sans dire che per fare le cose il più imparziali (sia eticamente che geograficamente, oserei) uno dei punti naturali è il polo, nord per convenzione.

In base a questa proiezione tutti i meridiani (linee di longitudine) risultano delle rette, cosa molto comoda per misurare e presentare le distanze in linea d’aria dal punto centrale di proiezione (e.g. rotte aeree, carte nautiche, comunicazioni radio intercontinentali, etc.). Per la navigazione, ad esempio, sia via aria che via mare, abbiamo in questa proiezione la possibilità di vedere l’intera rotta su una mappa.

Inoltre, dato che la proiezione azimutale equidistante si ottiene proiettando tutti i punti della terra su un piano ad essa tangente, con tale mappa il calcolo delle rotte fra due qualsivoglia punti si riduce ad un problema planare decisamente più semplice da maneggiare. Tuttavia le distanze sono esatte solo se misurate dal centro della proiezione o fra punti lungo linee rette partenti dal centro (anche se esistono, ovviamente, regole di conversione…).

Il contro (che non fa evidentemente molto piacere agli evolutissimi popoli occidentali) è che essendo la proiezione non conforme la distorsione delle superfici aumenta all’aumentare della distanza dal centro della proiezione (esattamente come una foto con un fisheye). Il limite è il polo sud che in una proiezione azimutale equidistante centrata nel polo nord risulta essere niente meno che… una circonferenza.

Non è un tipo di mappa che vediamo tutti i giorni ed in fondo, un po’ come ogni tipo di proiezione di qualcosa di non-planare su un piano, ha i suoi pro ed i suoi contro. Mi pare, tuttavia, un sistema di proiezione decisamente imparziale, ammesso che esistano proiezioni “di parte” e non sia la lettura che vogliamo dargli noi a renderle tali.

WU

PS. L’unica cosa che mi scoccia un pochino (ma forse neanche più di tanto) è che questo è il tipo di proiezione scelto dai “famosi” terrapiattisti… beh, effettivamente se la mettiamo così potremmo anche convenire che la Terra è piatta (… proprio per definizione di proiezione, direi).

PPSS. Questa e questa ve le ricordate? Si, mi intrippano le mappe…

AuthaGraph World Map

Partiamo dal presupposto che se un qualcosa esiste in un certo numero di dimensioni qualunque tentativo di riportarla (per nostra mera limitazione cognitiva) ad un numero minori di dimensioni è per me un abominio.

Ciò detto (ovviamente discutibilissimo), è molto probabile che avremo poco a che fare con una multi sfera o con un manifold pentadimensionale nella nostra vita quotidiana, ma una mappa geografica (si, come quella del nostro smartphone…) forse si.

Beh, il globo vive su una sfera, ma a noi ci piace vederlo disegnato su carta.
Ebbene, ogni mappa non è esente da difetti. Ma ce ne sono alcune che possono essere più accurate di altre. Quella che storicamente usiamo, il così detto piano di Marcatore, non è la migliore. Anzi…

Il Japan Institute of Design Promotion ha recentemente proposto, nell’ambito del concorso Good Design Award, una mappa che invece si candida ad essere la migliore quanto rispetto della realtà delle proporzioni delle terre emerse ed estensione dei mari.

La AuthaGraph World Map, da a Cesare ciò che è di Cesare, senza scombussolarci troppo privandoci della nostra rassicurante forma rettangolare. Per far ciò il globo è suddiviso il 96 aree; la sfera è trasformata in un tetraedro e quindi ogni areola è appiattita su una superficie piana.

authagraph.png

Beh, guardandola così, da profano, la cosa che mi balza subito all’occhio è che la tradizionale prospettiva “Euro-centrica” è abbandonata a favore di una più contemporanea crescita del Sol-levante; anzi:

The world map can be tiled in any directions without visible seams. From this map-tiling, a new world map with triangular, rectangular or parallelogram’s outline can be framed out with various regions at its center.

Equally opportunity map direi.

WU

PS. Non posso far a meno di notare l’evidente impronta di merchandising del sito

Treccia parametrica

Torno (dopo qui) a sguazzare un po nelle forme parametriche. Questa volta mi impelago nelle trecce.

Quelle dei capelli di una bella mora mi attirano decisamente di più, ma le trovo meno alla mia portata. Quella di casearia natura quasi mi istigano ad eliminarle, e pertanto ne giovo per un troppo breve lasso di tempo. I fili, quelli si che sono durevoli e raggiungibili trecce, ma in fondo vuoi mettere la bellezza di disegnarne qualcuna, così a caso?

E quindi, forma parametrica abbastanza semplice, cioè… forse no.
Allora, prima definisco un parametro p(t):

p(t) =
{1 + cosnt1*Cos[t*const2])*Cos[t],
(1 + cosnt1*Cos[t*const2])*Sin[t],
cosnt1*Sin[t*const2]}

dove cosnt1 e cosnt2 sono due parametri (eh, eh, esagero!), Il primo mi dice quanto la mia treccia è diversa da un filo singolo, mentre il secondo mi dice quanto è schiacciata la mia treccia, ovvero se i vari fili sono più o meno inclinati. t è ovviamente la variabile (periodica) che fa si che la treccia sia un qualcosa di chiuso.

Una volta che ho p(t) ne faccio derivata prima (p’) e seconda (p”). Qui le ometto onde evitare che lo schermo del vostro pc/mac/cel/Iqualcosa sia irrimediabilmente colpito da voi stessi con un ascia.

Mi costruisco quindi (dot e cross sono i prodotti scalare e vettore rispettivamente):

A = p’/radice(p’^2)
B = p”*(p’dot p’) – p’*(p’dot p”)
C = B/radice(B^2)
D = A cross C

Quindi a questo punto una treccia è semplicemente:

treccia = p(t) + const3*(C*cos(theta)+D*sin(theta)

Dove const3 mi dice quanto sono ciccioni i fili della mia treccia e theta è la variabile che fa dei miei fili dei tubi…

Ora abbiamo tutto. Theta va da se che non può che essere tra 0 e 2pi, mentre il resto… boh.

Ho arbitrariamente deciso (dopo qualche sana prova) che const3 = 0.04*const2 così da far sembrare la mia treccia sempre bella piena anche quando faccio fare pochi giri ai fili. E così mi riduco di uno i miei paramatri liberi.

Con un po di prove veloci mi accorgo subito che const1 non può essere minore di 0 (praticamente un disco) e maggiore di 1 (la treccia diventa una specie di gomitolo di lana…). Nella immagine sotto tre casi più un po meno patologici con const1 = [0.2, 0,5, 0,8]

treccia1

A questo punto, per fare un po di elucubrazioni, fisso const1 = 0.3 e gioco con const2. Questa la prenda come 11/x e faccio variare x. Ah, la cosa mi porta automaticamente a definire l’intervallo di esistenza di t come [0 2*x*pi].

treccia2.png

Secondo me siamo al limite per una chiamata alla neuro, ma se avete ancora voglia di giocare con altri parametri sono convinto che la treccia riservi altre sorprese. Ecco sotto qualche esempio a caso (tanto per suscitare un po di curiosità).

treccia3

WU

Medusa parametrica

Sono affascinato, decisamente affascinato, dalle forme parametriche.

Per intenderci sono quelle curve/superfici (ovvero equazioni) che dipendono da uno (o più) parametri (numerelli) che se cambiati cambiano completamente il comportamento (e l’aspetto) della curva.

Mi danno l’idea di essere una specie di consolle con uno (o più) tasti che posso premere a piacere per avere un risultato completamente diverso ogni volta. Con un singolo parametro è più facile ed intuitivo, posso arrivare a due (tipo il cilindro), ma poi la mia testolina, di certo troppo vincolata alla nostra realtà a 3D, si perde…

In particolare ho provato a disegnare una medusa (ovviamente la prima cosa che mi viene in mente!?). Cioè quella che con un po di fantasia può essere una medusa. La forma parametrica che ho usato è questa

z = r Exp[i*theta]
medusa = Re[{-1/(2*z) – z^(2*n + 1)/(4*n + 2),  -i/(2*z) + i*z^(2*n + 1)/(4*n + 2),  z^n/n}]

Con theta in [0,2pi] ed r in [0.55, 1.15] e cambiando il parametro n da 1 a 9 (il numero di “balze” praticamente) ho come l’impressione di avere una bella medusa che si muove.

medusaparam

WU

PS. Inutile, applicazione di “when you have a hammer everything looks like a nail”… anche una gif della “mia medusa” che nuota…

movingmedusa