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Led math

6-2-5-5-4-5-6-3-7-6

Prima di continuare con la lettura (qualora ci provaste) vi sfido a determinare la logica della sequenza sopra; tranquilli, non è un test serio di logica matematica, più una cosa tipo “Nella mente del serial killer” 😀 .

E lo so. E’ sicuramente capitato anche a voi di svegliarvi nel cuore della notte e fissare un orologio a led che brilla nel buio per cercare di riprender sonno. Ed è quindi capitato sicuramente anche a voi di soffermarvi a contare quanti led accesi compongono una data cifra. No? E’ un problema mio (di sicuro…)? Beh, almeno una volta, nel cuore della notte o meno, avrete visto un orologio a led…

Io mi sono messo a delirare cercando di associare ad ogni cifra il numero di led necessari a comporla.

Come avrete visto gli orologi a led (tipo sveglie, per intenderci) hanno una specie di 8 formato da 4 trattini verticali e tre orizzontali (7 in tutto) che si accendono alla bisogna per far comparire qualunque cifra. Sono, ovviamente, usati da 0 a 23 e da 0 a 59 rispettivamente per ore e minuti, ma il metodo funziona per ogni numero di due cifre (da 0 a 99 e sono certo che a molti farebbe piacere vedere orologi con più i 24 ore…). Infatti molti display di strumenti da laboratorio funzionano con gli stessi led e non sono certo limitati alle 24 ore!

Allora nel mio delirio ho costruito una sequenza che associa ad ogni numero fino a 99 un altro numero che identifica il numero di lucine accese necessarie per formarlo su un display a led. La sequenza base deriva ovviamente dai numeri da 0 a 9. Per questi vale la seguente regola:


0         1         2         3         4         5         6         7         8         9

6         2         5         5         4         5         6         3         7         6


La sequenza completa per tutti i numeri di due cifre è semplicemente costruita sommando i valori associati a questi primi 10 numeri. E così ottengo una “nuova matematica” basata sul sistema decimale, ma con una sequenza di numeri “leggermente” diversa, come riassunta nell’istogramma sotto.

lednumbers#1

A questo punto visto che il delirio era in stato avanzato ho fatto anche qualche ulteriore elucubrazione su questi numeri.

La prima osservazione (quasi banale) è che se facciamo la differenze tra il valore “vero” ed il suo corrispettivo a led troviamo circa un andamento lineare dato che il valore “vero” cresce linearmente, mentre il valore a led raggiunge massimo 14 e quindi sottratto a valori ben più grandi ha un’incidenza sempre minore.

Altra osservazione quasi ovvia è che il numero maggiore di questa sequenza è 88 dato che richiede che tutti e 14 i led del display siano contemporaneamente accesi (e lo sapevamo anche prima senza fare tutto sto casino…). Il numero 1 richiede solo 2 led, il minimo… Mentre tra i valori a 2 cifre il 71 richiede solo 5 led (come il 5 per intenderci).

Poi mi sono messo a fare i tre grafici sotto.

lednumbers#2

Il primo grafico è il resto della divisione tra numero “vero” e numero a led (la funzione modulo per intenderci). E qui scopro qualche cosetta simpatica. I numeri 0-4-5-6-16-18-21-40-45-54-60-72-81-96 sono una specie di “numeri primi” (si lo so, sto esagerando) di questa sequenza. Sono numeri per i quali il numero di led accesi è un loro divisore esatto. Inoltre per 4-5-6 il numero di led accesi è esattamente uguale al numero “vero”. Sono gli unici tre numeri per cui ciò vale ed è l’unica “tripletta di numeri primi consecutivi” di questa sequenza. I punti 89 ed 83, invece sono i punti “più lontani” dalla loro raffigurazione a led.

Il secondo grafico, invece, rappresenta l’andamento del rapporto fra la somma del numero “vero” più la sua raffigurazione a led diviso per il numero a led. A parte una piccola intercetta, è quasi lineare con il numero “vero”! Ovvero la somma fra numero “vero” e numero a led è circa 0.09*numero. La discrepanza maggiore si nota per i valori da 70 ad 80, tutta colpa del 7 che richiede solo 3 led!

Il terzo grafico rappresenta il valore assoluto della differenza fra la raffigurazione a led di due numeri consecutivi. La regolarità è affascinante. Mai più di 4 led si devono accendere in un cambio di numero; e molto spesso 1 è sufficiente. Il patern sembra qualcosa del tipo: da una differenze di 4 diminuisco prima a 3, poi a zero (stesso numero di led richiesti), quindi ricresco verso 1 ove permango per 2 o 3 numeri, quindi nuovamente 3 e poi 4. Un solo numero fa eccezione: il 10. Per questo valore, infatti devo accendere 2 led in più del 9…

Ok, per il momento mi fermo qui; magari la prossima volta che vedete un orologio a led vi fate una risata o vi mettete a contare le lucette o chiamerete la neuro denunciandomi a piede libero.

WU