Tag: numbers

6.6.1-7

Elogio al numero 6. E, se vogliamo essere pignoli (ed uno che fa un elogio ad un numero volete che non lo sia?), anche al -6…

Partiamo da un po’ di numerologia spicciola: pari, altamente composto (più divisori di ogni primo minore), semiprimo (prodotto di due numeri primi), numero di Ulam (questa è bella…), numero semiperfetto (uguale alla somma di tutti i suoi divisori), numero oblungo (prodotto di due numeri consecutivi), etc. etc.

Personalmente le due proprietà che mi piacciono di più sono:

  • che 3*2*1=3+2+1=6
  • che, sempre ragionando in base 10, moltiplicando 6 per un qualunque numero pari, l’ultima cifra del prodotto sarà l’ultima cifra del numero pari (eg. 6×8=48 ; 6×10=60 , 6*122=732, etc.)

E’ un numero che in un certo senso getta le basi della nostra esistenza. Da un punto di vista chimico, dato che 6 è il numero atomico del Carbonio, elemento sul quale si base tutta la chimica organica. E da un punto di vista religioso, dato dato che il Signore ha creato il mondo il 6 giorni, per poi riposarsi la Domenica. Insomma è un numero della creazione.

E’ associato alla vita domestica, ai rapporti stabili, alla vita comunitaria; insomma a tutto ciò che ha a che fare con il dare-avere tipico (almeno in linea di principio) dei rapporti umani

E’ associato ad una serie di amenità galattiche (in particolare a Mercurio e l’ammasso della Farfalla) ed ha tentacoli (ovviamente almeno 6) nella cabala/numerologia.

Insomma è un numero tendenzialmente positivo, almeno finché non si presenta ripetuto nella bestiale tripletta assieme ai suoi due fratelli (che è poi abbastanza affine alla data odierna…)

Faceva sì che tutti, piccoli e grandi, ricchi e poveri, liberi e schiavi ricevessero un marchio sulla mano destra e sulla fronte; e che nessuno potesse comprare o vendere senza avere tale marchio, cioè il nome della Bestia o il numero del suo nome. Qui sta la sapienza. Chi ha intelligenza calcoli il numero della Bestia: infatti è numero d’uomo, e il suo numero è seicentosessantasei [Apocalisse 13,16-18]

WU

PS.

Fino a sei anni l’uomo è prigioniero di genitori, di bambinaie o d’istitutrici; dai sei ai ventiquattro è sottoposto a genitori e professori; dai ventiquattro è schiavo dell’ufficio, del caposezione, del pubblico e della moglie; tra i quaranta e i cinquanta vien meccanizzato e ossificato dalle abitudini (terribili più d’ogni padrone) e servo, schiavo, prigioniero, forzato e burattino rimane fino alla morte. [Giovanni Papini, Chiudiamo le scuole]

Generatore lineare congruenziale

La matematica è per sua natura abbastanza ordinata, abbastanza ripetitiva ed abbastanza prevedibile. Certo, abbastanza.

In un mondo come questo è quindi non proprio banalissimo avere la generazione di numeri che siano veramente, ma veramente casuali. Ci si accontenta spesso di numeri pseudo-casuali (ovvero numeri generati da un algoritmo che pur essendo deterministico produce una sequenza che ha circa le stesse proprietà statistiche di una sequenza casuale) tipicamente perché il vero caso non serve poi a molto ed è computazionalmente difficile da ottenere.

In altre parole esiste un’equazione “semplice” per ottenere una sequenza di numeri che sembra prodotta dal caso. L’algoritmo LCG (Linear Congruential Generator) è uno dei più vecchi, semplici e conosciuti algoritmi che ci danno l’impressione del caso.

L’algoritmo si basa su un modulo (m), un moltiplicatore (A) ed un incremento (C); uno dei valori della successione, il cui periodo è al più m, è quindi definito da:

Xn+1 = (A Xn + C) mod m

Inutile dire che la semplicità dell’equazione (ed il conseguente largo uso anche in algoritmi numerici) si paga in termini di bontà dei risultati; la scelta dei tre coefficienti diventa fondamentale (e potrebbe essere a sua volta il frutto di un generatore di numeri casuali 🙂 ).

Ed ora facciamo qualche prova:

LCG.png

Cose simpatiche:

  • il penultimo caso è l’algoritmo della Borland C/C++
  • se A ed m sono molto maggiori di C, i valori della successione si schiacciano su C
  • nel primo e secondo caso (ed in generale per ogni combinazione di fattori abbastanza semplice e lineare) la successione è tutt’altro che casuale
  • ovviamente più grandi sono (numericamente) i tre fattori e più l’aspetto casuale della faccenda viene fuori.

… pensateci la prossima volta che vi viene chiesto di dire un numero a caso.

WU

Centootto

  • 108: numero di cuciture della palla da baseball. Eredità dei segni impressi dalle dita di Manitù, Grande Spirito dei Pellerossa, su una sfera di argilla modellata per far divertire i piccoli della tribù.
  • 108: numero atomico dell’Hassio. Precedentemente noto come unniloctio e poi battezzato Hassio in onore dell’Assia, regione dove è situato l’istituto di ricerca che lo ha sintetizzato per la prima volta nel 1984
  • 108: numero parte della successione Tetranacci, ovvero la sequenza illimitata di interi in cui ogni termine è uguale alla somma dei quattro termini precedenti (Fibonacci solo dei due precedenti…): 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, …
  • 108: numero iperfattoriale di 3 (numero perfetto): 1^1 * 2^2 * 3^3 = 108. E’ anche un numero potente, ovvero può essere espresso come il prodotto di un quadrato per un cubo
  • 108: numero di Harshad, ovvero divisibile per la somma delle proprie cifre
  • 108: primo numero della terne pitagorica 108, 144, 180
  • 108: ampiezza di ogni angolo interno di un pentagono regolare nella geometria euclidea
  • 108: numero sacro di Iduismo, Buddhismo, Sikhismo e Giainismo
  • 108: numero di grani del Mala
  • 108: numero di grani del Juzu, del Mala e del Aksamala
  • 108: numero di nomi delle divinità induiste
  • 108: numero di sentieri che conducono a Dio e numero di linee di linee di energia che convergono al chakra del cuore
  • 108: numero di respiri giornalieri da fare per praticare la meditazione pranayamaed arrivare all’illuminazione.
  • 108: diametro massimo di Stonehenge in metri
    108: numero di Gopi (pastorelle) danzanti con Krishna nello Srimad Bhàgavatam
  • 108: numero di krana (mosse) della danza cosmica di Shiva Nataraja nello Shivaismo
  • 108: numero dei peccati nel Buddhismo tibetano
  • 108: numero di minuti della primo volo spaziale del primo cosmonauta della storia, Yuri Gagarin, attorno alla Terra
  • 108: numero delle stelle sacre nell’astrologia cinese
  • 108: nome dell’asteroide 108 Ecuba. Asteroide della Fascia principale orbitante all’interno della famiglia di asteroidi Igea
  • 108: rapporto fra la distanza tra la Terra e Sole ed il diametro del sole
  • 108: rapporto fra il diametro del Sole ed il diametro della Terra
  • 108: rapporto fra la distanza tra la Terra e la Luna ed il diametro della Luna
  • 108: numero di rintocchi della campana che festeggia il nuovo anno in Giappone
  • 108: numero delle tentazioni terrene mortali, delle bugie umane e dei deliri cui una persona deve resistere per raggiungere il Nirvana
  • 108: numero del più corto tra i Sura del Corano, Al-Kawthar (L’Abbondanza): “In verità ti abbiamo dato l’abbondanza; Esegui l’orazione per il tuo Signore e sacrifica!; In verità sarà colui che ti odia a non avere seguito”
  • 108: numero dei pretendenti di Penelope, moglie di Ulisse, nell’Odissea
  • 108: la tempistica di alcuni cicli dell’ordine segreto cristiano Rosacroce
  • 108: prodotto delle cifre dei giorni di un anno bisestile: 3 * 6 * 6 = 108
  • 108: numero che indossava il ciclista Wouter Weylandt durante la terza tappa del Giro d’Italia 2011. Il ciclista perse la vita in tale occasione e la direzione ritirò il numero

WU

PS. Come mi ci sono imbattuto? Oggi è il 12 Settembre. Chi non farebbe subito, poco prima del caffè tipicamente, 12*9?

Binary digit(s)

Una volta per tutte (ah ah ah):

  • byte e bit NON sono sinonimi
  • kilo è un prefisso che NON si riferisce solo al vostro peso

Prendiamo 8 bit (diciamo otto cifre, che possono essere solo 0 oppure 1) e facciamo un pacco regalo. Questo pacco regalo lo possiamo modificare per far felice la bellezza di 256 (2^8) bambini. Il più sfigato prenderà il pacco fatto di tutti 0, mentre il più fortunato (o il raccomandato di turno) quello fatto da tutti 1. Gli altri stanno nel mezzo.

Benissimo, abbiamo fatto un byte. Ma in fondo è un po poco come regalo. Allora ne mettiamo insieme 1024 per fare più bella figura. Perfetto, possiamo regalare un kilobyte.
Ora si da il caso che 1024=2^10. Quindi kilo identifica che l’esponente del 2 (… e dai, non mi fate fare lo sproloquione sul sistema binario…) è il 10. E se vi dico Mega? Beh, allora l’esponente del 2 è 20 (1.048.576 byte). E quindi Gigabyte e Terabyte? 2^30 (1.073.741.824 byte), 2^40 (1.099.511.627.776 byte), ovvio.

Ma. Ma. Ma.

Per comodità di calcolo ci facciamo un po’ di sconto. Abbiamo detto che un kilobyte è 1024 byte, giusto?! Ma 1024 è paurosamente vicino a 1000, che è 10^3 (ed infatti nel sistema decimale kilo è il prefisso che indica esattamente 1000) quindi ci confondiamo ben bene dicendo che in fondo un kilo/mega/giga byte è un po meno di quanto dovrebbe essere.

E via al marketing, dato che per la gioia dei produttori di hardware informatico quando ci convincono che stiamo comprando qualcosa che dovrebbe poter ospitare la bellezza di 1.099.511.627.776 byte, ne può ospitare solo 1.000.000.000.000 byte, ovvero circa il 9% meno.

E comunque se la cosa non fosse ancora chiara basta (oltre che vedere errori, orrori e cose ben fatte su Internet) fare riferimento qui ad XKCD.

XKCD160616.png

WU

PS. Se il vostro pc non lo sponsorizza in nessun modo (ed ha qualche anno) allora elabora un byte alla volta. Se, invece, lo scrive in lungo ed in largo che è a 64 bit allora vuol dire che può elaborare pacchetti da 8 bytes alla volta.

137,035999084

Voi non lo sapete (forse, ma di sicuro io non ne ero sufficientemente cosciente), ma se esistiamo è solo grazie a questo preciso, apparentemente casuale ed insignificante numero.

Il numero in questione è l’inverso (…di solito si da questo e non chiedetemi perché…) della costante di struttura fine. E che è? In due parole: l’accoppiamento tra le costanti fisiche che regolano le interazioni elettromagnetiche; la relazione elettrone-fotone.

Ora vi risparmio lo sbobbone matematico e la storia della sua scoperta (a parte dirvi che si chiama anche costante di Sommerfield dato che fu proprio il fisico tedesco ad introdurla nel 1916 per spiegare alcune deviazioni relativistiche del modello di Bohr) e, cerco, di arrivare al punto: La nostra vita, la nostra stessa esistenza è legata a 7.29735256e-7, con una precisione di 0,37 parti per miliardo.

La costante di struttura fine è una costante adimensionale, dato che è il quadrato della carica dell’elettrone diviso per la velocità della luce moltiplicato per la costante di Planck (… ed ecco un accenno allo sbobbone matematico, se fate i conti vi accorgete sia del valore sia del fatto che le unità di misura si cancellano…). E’ il rapporto tra la velocità della luce e quella di un elettrone che orbita intorno al nucleo dell’atomo d’idrogeno. Il numero governa il legame tra materia e luce, fra massa ed energia. E fra questi due estremi abbiamo.. 137 e spiccioli. Ovvio, no ?!?

Ma come se il valore non fosse già un enigma, questo suo essere adimensionale è un grave problema; è (o potrebbe essere) una testimonianza dell’incompletezza di tutto il nostro sistema teorico. Oltre a voler dire che ogni altra forma senziente che avesse fatto lo stesso calcolo altrove nell’universo avrebbe trovato esattamente lo stesso risultato.

Allora, se ho una costante dimensionale, quello che succede è che in base all’unità di misura che scelgo (una convenzione) posso avere un numero oppure un’altro (e.g. la velocità della luce è una costante, ma il valore esatto cambia: che so 300.000.000 metri/secondo oppure 1.020.400.000.000.000 pollici/giorno). Se invece mi ritrovo con una sequenza di numeri adimensionali allora c’è qualcosa di più profondo, allora ho toccato le basi della teoria, della struttura stessa della natura (pi greco, ad esempio è il rapporto fra una circonferenza ed il suo diametro che si parli di anni luce o di mm) oppure sto introducendo un fattore arbitrario nella teoria… per far tornare i conti.

In passato costanti adimensionali sono state di solito eliminate delle teorie fisiche mediante ampliamenti della teoria di cui facevano parte, ma per la costante di struttura fine non ci si è ancora riusciti. Questa sequenza di numeri è li da circa 100 anni che ci fissa, imperterrita (…ed ha coinvolto brillanti menti, Heisemberg e Pauli giusto per fare due nomi, che negli ultimi 50 anni hanno cercato di dare un senso a questo numero).

Eppure se non fosse per questo numero l’universo non sarebbe come lo conosciamo. Un valore della costante diverso anche solo del 10% causerebbe una variazione significativa nel rapporto fra forze attrattive e repulsive tra le particelle elementari con il risultato che la materia stessa non potrebbe esistere (così come la conosciamo) e noi con essa.

La capacità della materia di aggregarsi e di interagire a livello atomico è governata da un numero apparentemente insignificante e senza unità di misura. Se la costante fosse più grande non ci esisterebbe alcun atomo dato che gli elettroni sarebbero “risucchiati” dal nucleo, se invece essa fosse più piccola gli elettroni sarebbero troppo debolmente “legati” agli atomi per sopravvivere a lungo.

Il “numero magico” è alla base dell’elettrodinamica quantistica, teoria che descrivere molto accuratamente l’interazione luce-materia e predice con estrema precisione la relazione tra varie grandezze fondamentali. Se poi vogliamo lanciarci ancora più in là, la costante di struttura fine è anche alla base della teoria delle stringhe (che dovrebbe di per se essere appunto l’estensione della teoria che stiamo cercando) e con essa del concetto di multiverso. Ed ovviamente la costante è uno dei punti di forza del principio antropico.

Con 150,7395989924 io non sarei qui a scrivere cazzate, invece grazie a 137,035999084 posso farlo :). Ma tanto sono numeri, no?!? Eppure se il rapporto fra le costanti in gioco fosse stato 1, pi greco, il numero di nepero, il rapporto aureo o qualche altra cosa che ha già di per se un senso la cosa sarebbe stata meno sconvolgente. Invece: 137, nudo e crudo (… oltre ad essere numero primo, ma questa è un’altra storia…).

Devo rivedere la mia risposta universale alla vita, l’universo e tutto quanto. R. Feynman (di certo non uno qualunque) lo aveva già fatto:

Questo numero costituisce un vero rompicapo fin da quando fu scoperto, e tutti i migliori fisici teorici lo tengono incorniciato e appeso al muro e ogni giorno ci meditano su. Vi chiederete subito da dove venga questo valore: è connesso a p, o magari alla base dei logaritmi naturali? Nessuno lo sa. È uno dei più enigmatici enigmi della fisica, un numero magico che ci viene offerto nel mistero più assoluto. Si potrebbe quasi dire che a scrivere questo numero sia stata la «mano di Dio» e che noi «non sappiamo come Egli abbia mosso la sua matita». Sappiamo perfettamente che cosa fare sperimentalmente per avere una misura accuratissima di questo valore, ma non sappiamo che arzigogolo inventare per farlo venir fuori da un calcolatore, senza avercelo messo dentro di nascosto!

WU

PS. Ed aggiungiamo altra carne al fuoco. NON è detto che il valore della costante di struttura fine sia … costante nel tempo (mentre è confermato che sia costante nello spazio). Anzi, svariati studi, sempre più precisi, che prendono in considerazione diverse sorgenti spettrali del cosmo (e.g. quasar) paiono puntare verso una variazione del valore di questa costante nel tempo. E ciò, data la dipendenza della costante di struttura fine dalle principali costanti fisiche, sarebbe un indizio del fatto che le leggi fisiche variano nel tempo.

L’universo non è come era? E quando sarebbe diventato così? Perché? Grazie 137 per farmi porre questi interrogativi…

CinquantaTre

Grazie a questo Whubble (di certo riferito ad altro, ma sufficiente ad ingannare una piccola mente come la mia) mi impelago in un po di numerologia da battaglia (e di basso livello) del 53.

Numero primo (il sedicesimo per l’esattezza) e numero primo di Sopie German (ovvero anche 2*53+1 è numero primo), numero primo di Eisenstein ed è anche la somma di 5 numeri primi consecutivi. Ancora è la somma di 2^2+7^2 (entrambi numeri primi). Affascinante! Ah, è anche l’ordine di grandezza del Gruppo Mostro (!?). Ancora più affascinante!

Non può essere scritto come somma delle cifre di un altro numero in base 10, pertanto è definito non-colombiano. In linguaggio esadecimale si scrive 35, quindi con le cifre invertite, come per suoi 4 multipli, che si dia il caso sono anche gli unici per cui vale ciò. Ecco, Whubble di vuole dire qualcosa di criptato in esadecimale?!Oppure vuole comunicare tramite il protocollo Asynchronous Transfer Mode (basato su pacchetti da 53 byte)?

Numero atomico dello Iodio (cioè serve dello Iodio per la tiroide di Whubble?). Boh, la parola iodio significa lilla, dal colore dei vapori dell’elemento, che si dia il caso essere anche il colore (secondo me) di Whubble.

Poi. L’art. 53 della costituzione recita:

Tutti sono tenuti a concorrere alle spese pubbliche in ragione della loro capacità contributiva. Il sistema tributario è informato a criteri di progressività.

E’ un caso? Ecco cosa voleva dire Whubble! Che tutti devono portare nastro adesivo (no, non devo parlare di evasione fiscale) in funzione delle loro possibilità…

Messier object 53 è un ammasso globulare nella costellazione della Chioma di Bernice. E’ uno degli ammassi (stimato di circa 150 anni luce di estensione lineare) più lontani da noi (anche se stimato in avvicinamento a circa 80 km/s) e pertanto ha una luminosità relativamente bassa che lo rendono abbastanza difficile da osservare.
53 è inoltre, il nome di una azienda che produce ” mobile tools for creation”, di una banca, di un progetto delle chiese valdesi, di una barca a vela, un cellulare (Archos, con display, ovviamente, da 5.3 pollici), di una galleria d’arte … e sicuramente di un sacco di altre cose (band, canzoni, novelle, etc. etc.).

Se vuoi chiamare a Cuba devi fare il 53 e se vuoi battere Herbie devi essere più veloce del 53.

E poi non ci dimentichiamo che LA Guida è “Più popolare del Manuale di economia domestica celeste, più venduto di “Altre 53 cose da fare a gravità zero” e più discusso della trilogia di bestseller filosofici di Oolon Colluphyd “Dove ha sbagliato Dio”, “Ancora alcuni tra i più grandi sbagli di Dio” e “Chi è questo Dio, in fin dei conti?”!

Molto probabilmente Whubble voleva solo ironizzare sui diversi modi di ricevere un “appunto”, ma tanto ci serviva solo una scusa per bighellonare con la mente…

WU

PS. Ma voi, invece, come la interpretate la striscia? Una specie di trasposizione gatto(e non catto)-moderna in chiave “esasperazione da ambiente di lavoro” dei gradi di separazione di Bart Simpson. Oppure è più una cosa tipo “la pazzia consiste nel fare sempre la stessa cosa e aspettarsi un risultato diverso”?

Idee migliori (e più sobrie e semplici)?

Led math

6-2-5-5-4-5-6-3-7-6

Prima di continuare con la lettura (qualora ci provaste) vi sfido a determinare la logica della sequenza sopra; tranquilli, non è un test serio di logica matematica, più una cosa tipo “Nella mente del serial killer” 😀 .

E lo so. E’ sicuramente capitato anche a voi di svegliarvi nel cuore della notte e fissare un orologio a led che brilla nel buio per cercare di riprender sonno. Ed è quindi capitato sicuramente anche a voi di soffermarvi a contare quanti led accesi compongono una data cifra. No? E’ un problema mio (di sicuro…)? Beh, almeno una volta, nel cuore della notte o meno, avrete visto un orologio a led…

Io mi sono messo a delirare cercando di associare ad ogni cifra il numero di led necessari a comporla.

Come avrete visto gli orologi a led (tipo sveglie, per intenderci) hanno una specie di 8 formato da 4 trattini verticali e tre orizzontali (7 in tutto) che si accendono alla bisogna per far comparire qualunque cifra. Sono, ovviamente, usati da 0 a 23 e da 0 a 59 rispettivamente per ore e minuti, ma il metodo funziona per ogni numero di due cifre (da 0 a 99 e sono certo che a molti farebbe piacere vedere orologi con più i 24 ore…). Infatti molti display di strumenti da laboratorio funzionano con gli stessi led e non sono certo limitati alle 24 ore!

Allora nel mio delirio ho costruito una sequenza che associa ad ogni numero fino a 99 un altro numero che identifica il numero di lucine accese necessarie per formarlo su un display a led. La sequenza base deriva ovviamente dai numeri da 0 a 9. Per questi vale la seguente regola:


0         1         2         3         4         5         6         7         8         9

6         2         5         5         4         5         6         3         7         6


La sequenza completa per tutti i numeri di due cifre è semplicemente costruita sommando i valori associati a questi primi 10 numeri. E così ottengo una “nuova matematica” basata sul sistema decimale, ma con una sequenza di numeri “leggermente” diversa, come riassunta nell’istogramma sotto.

lednumbers#1

A questo punto visto che il delirio era in stato avanzato ho fatto anche qualche ulteriore elucubrazione su questi numeri.

La prima osservazione (quasi banale) è che se facciamo la differenze tra il valore “vero” ed il suo corrispettivo a led troviamo circa un andamento lineare dato che il valore “vero” cresce linearmente, mentre il valore a led raggiunge massimo 14 e quindi sottratto a valori ben più grandi ha un’incidenza sempre minore.

Altra osservazione quasi ovvia è che il numero maggiore di questa sequenza è 88 dato che richiede che tutti e 14 i led del display siano contemporaneamente accesi (e lo sapevamo anche prima senza fare tutto sto casino…). Il numero 1 richiede solo 2 led, il minimo… Mentre tra i valori a 2 cifre il 71 richiede solo 5 led (come il 5 per intenderci).

Poi mi sono messo a fare i tre grafici sotto.

lednumbers#2

Il primo grafico è il resto della divisione tra numero “vero” e numero a led (la funzione modulo per intenderci). E qui scopro qualche cosetta simpatica. I numeri 0-4-5-6-16-18-21-40-45-54-60-72-81-96 sono una specie di “numeri primi” (si lo so, sto esagerando) di questa sequenza. Sono numeri per i quali il numero di led accesi è un loro divisore esatto. Inoltre per 4-5-6 il numero di led accesi è esattamente uguale al numero “vero”. Sono gli unici tre numeri per cui ciò vale ed è l’unica “tripletta di numeri primi consecutivi” di questa sequenza. I punti 89 ed 83, invece sono i punti “più lontani” dalla loro raffigurazione a led.

Il secondo grafico, invece, rappresenta l’andamento del rapporto fra la somma del numero “vero” più la sua raffigurazione a led diviso per il numero a led. A parte una piccola intercetta, è quasi lineare con il numero “vero”! Ovvero la somma fra numero “vero” e numero a led è circa 0.09*numero. La discrepanza maggiore si nota per i valori da 70 ad 80, tutta colpa del 7 che richiede solo 3 led!

Il terzo grafico rappresenta il valore assoluto della differenza fra la raffigurazione a led di due numeri consecutivi. La regolarità è affascinante. Mai più di 4 led si devono accendere in un cambio di numero; e molto spesso 1 è sufficiente. Il patern sembra qualcosa del tipo: da una differenze di 4 diminuisco prima a 3, poi a zero (stesso numero di led richiesti), quindi ricresco verso 1 ove permango per 2 o 3 numeri, quindi nuovamente 3 e poi 4. Un solo numero fa eccezione: il 10. Per questo valore, infatti devo accendere 2 led in più del 9…

Ok, per il momento mi fermo qui; magari la prossima volta che vedete un orologio a led vi fate una risata o vi mettete a contare le lucette o chiamerete la neuro denunciandomi a piede libero.

WU