Banana Equivalent Dose

La banana equivalente, e radioattiva. Non facciamo troppo allarmismo (… anche se un po’ ci fa sempre piacere 🙂 ).

Quasi tutti, praticamente tutti, i materiali organici contengono certe quantità di isotopi radioattivi, soprattutto potassio 40, anche in assenza di qualsiasi contaminazione antropica o comunque artificiale.

Le banane sono materiali organici… e contengono, come tutti sappiamo, molto potassio. Mangiando questi frutti ingurgitiamo un decimo di sievert (0.078 Sv, per la precisione). Lo sievert è l’unità di misura standard per misurare l’effetto biologico delle radiazioni su un individuo. La cosa “simpatica” è che la radioattività del potassio nelle banane espone a radiazioni anche non ingerendole! Ovviamente tenere in mano una singola banana non fa nulla, ma un grosso carico di banane… fa scattare gli scanner anti radiazione.

Ovviamente non tutte le banane contengono esattamente lo stesso quantitativo di isotopi radioattivi, ma (e qui sta il bello) qualcuno ha scritto in un vecchio documento una frase che in qualche modo “ci è piaciuta”. In uno studio del 1995, infatti, del Lawrence Livermore National Laboratory (laboratorio di ricerca del Dipartimento dell’Energia degli Usa), un qualche responsabile ha sottolineato l’importanza delle “banane radioattive” per spiegare gli effetti dell’esposizione di dosi infinitesime di materiale radioattivo ai profani.

Da allora, e per i casi della vita, la BED (banana equivalent dose) è diventata una stana unità di misura che quantifica (a tutti gli effetti) l’esposizione di un individuo agli effetti di radiazioni.

E’ mi immagino già frasi tipo “oggi, con il mio pasto, ho praticamente ingurgitato sette ettoBED! Incredibile!” 🙂 . Tanto per fare qualche paragone: la dose di radiazione naturale giornaliera media è circa 100 BED; la dose assorbita semplicemente dormendo accanto ad un’altra persona è di 0.5 BED; in Italia nei 10 anni successivi all’incidente di Cernobyl vi fu un livello di radiazione pari a circa 11.5 BED al giorno; la dose assorbita in una radiografia al torace è pari a 70,000 BED ed infine assorbendo 80,000,000 di BED… siamo morti.

Attenzione, attenzione: il potassio NON si accumula nei tessuti. Pertanto la dose di materiale radioattivo che ingurgitiamo non si somma con il tempo (a meno di casi patologici). Il nostro corpo contiene circa 2.5 g di potassio per ogni kilo; il che vuol dire che un adulto di 70 kg (tipo me) si porta a spasso circa 175 g di potassio, ovvero 5400 Bq di radioattività, costante durante la vita adulta. Il nostro corpo impiega circa 30 giorni a riportare il corpo a valori nominali di potassio dopo l’assunzione di potassio 40 puro.

Ah, tanto per concludere, tenete presente che le banane, benché detentrici della loro unità di misura, non sono gli unici alimenti ricchi di potassio (e radioattivi); spiccano anche patate, fagioli, semi di girasole e frutta secca.

L’ingestione di tre banane al giorno per un anno equivale ad una esposizione di 100 micro sievert che incrementa il rischio di morte di circa un milionesimo… sono certo non guarderete più le banane con gli stessi occhi.

WU

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Il problema dei conigli

Quante coppie di conigli verrebbero prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia da alla luce una nuova coppia che diventerebbe produttiva a partire dal mese successivo.

Ok, rileggiamo.

Abbiamo una coppia di conigli, il primo mese. Al secondo mese abbiamo la coppia originaria e la nuova coppia di coniglietti da questa generata. Il mese successivo abbiamo che la coppia originaria genera un’altra coppia, mentre la coppia nata il mese precedente (diciamo la fine?) non ha ancora procreato; abbiamo quindi tre coppie. Al mese quattro abbiamo che sia la coppia originaria, sia la prima coppia generata danno alla luce due nuove coppie di roditori, siamo a cinque coppie. …e così via (come di solito si dice quando le cose diventano troppo complesse da spiegare).

A parte i miei deliri, il problema in questione fu posto dal re di Sicilia Federico II, ma se non vi siete persi troppo nella precedente descrizione di coppie e conigli vi sarete accorti che la cosa intrigante è la successione che risponde al quesito. I primi dodici termini della successione (nonché la risposta al quesito che ne è poi la genesi) sono;

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 255, 377

Dopo un anno abbiamo 377 coppie di conigli; il re di Sicilia era contento e Fibonacci aveva “scoperto” la sua successione (ma voi siete di quelli che pensano che la matematica è già scritta e noi la dobbiamo scoprire oppure che è tutto un costrutto umano, benché dimostrabilmente incompleto, che costruiamo ed ampliamo giorno per giorno?).

La successione di Fibonacci è composta da termini che sono via via la somma dei due precedenti… proprio come la “gemmazione” dei conigli di cui sopra. Senza sproloquiare sulle sue n proprietà, facciamo almeno un cenno (un altro?!) alla sezione auree che è, magia delle magie, il rapporto costante fra due termini consecutivi della successione.

La sezione aurea è stata per secoli l’incarnazione del concetto di armonia; dalle piramidi alle spirali naturali la ritroviamo praticamente ovunque e la cosa decisamente suggestiva è che qualcosa che ci pare ben fatto o ben proporzionato è molto probabile nasconda la sezione aurea come numero magico del rapporto fra alcune sue parti. Un girasole? Il Partenone? La Gioconda? Il Modulor (forse il primo a fare un uso cosciente)?

Benché armonico per eccellenza, la sezione aurea è un numero “sporco”, ovvero irrazionale, si può determinare in un’infinità di modi, ma forse il più famoso (e comodo) è:

phi = (1+radice(5))/2 = 1,6180339887

La sezione aurea si può ottenere dal rapporto fra due lunghezze diverse delle quali la maggiore è medio proporzionale fra la somma delle due e la minore. Eh? Se siete alti 170 cm, ed siete ben proporzionati possiamo assumere che il vostro ombelico si trovi ad una distanza da terra che è data dalla sezione aurea per la vostra altezza; ovvero a circa 105 cm dal terreno ed il vostro busto misura circa 65 cm. Se fate il rapporto fra tutti questi numeri indovinate che ritrovate?

Il perché questo numero ci piaccia così tanto non lo sappiamo, il perché ricorra così spesso in natura è puro mistero, ma esiste, lo vediamo (più o meno inconsciamente) ogni giorno e l’abbiamo “scoperto” grazie a qualche coppia di conigli (e tanto genio matematico).

WU

Quanta gente fra te e me

Fra me e te ci sono non più di 5 persone. E non mi interessa chi tu sia. E non so chi sono i nostri intermediari. So solo che siamo separati da sei gradi. In altre parole, con un approccio statistico: “Dato un insieme di N persone, qual è la probabilità che ogni membro di N sia connesso a un altro membro attraverso k_1, k_2, k_3… k_n collegamenti ?”

Anche se può sembrare abbastanza una minghiata (e forse lo è come un po’ tutte le cose statistico-sociologiche), la teoria dei sei gradi di separazione non è proprio così campata in aria.

La teoria fu coniata nel 1929 da F. Karinthy, scrittore ungherese, e fino al 1967 nesso la riuscì a “dimostrare”. Finché Milgram (si, lo stesso Milgram di questo altro esperimento sociale qua) sottopose l’ipotesi ad una prova empirica (in realtà, sotto forma di teoria del mondo piccolo).

L’esperimento fu condotto chiedendo ad un gruppo di statunitensi a caso di spedire un pacchetto ad una persona a caso nel Massachusetts. L’indirizzo preciso non fu dato, ma solo una indicazione della zona di residenza. Fu chiesto ai soggetti individuati di spedire il pacchetto ad una persona di loro conoscenza che secondo loro potesse avere la maggiore probabilità di conoscere il destinatario finale. Quella persona avrebbe poi fatto lo stesso e così via fino a che il pacchetto non fosse stato consegnato.

Milgram si aspettava diverse centinaia di passaggi per recapitare i pacchetti (e sperava così di sconfessare la teoria dei sei gradi di separazione), invece con sua grande sorpresa (e forse disappunto) si accorse che erano sufficienti fra i 5 ed i 7 passaggi. Solo?!

Ora, c’è da dire che il numero di pacchetti inviati da Milgram era abbastanza esiguo, ma nel 2001 Watts ripeté l’esperimento sostituendo il pacchetto con una mail che doveva essere recapitata a 48.000 destinatari (questo si che mi pare un campione statistico di dimensione ragionevole!) in 157 paesi diversi. Indovinate un po’ quale fu il valore medio dei passaggi (forward) per recapitare la mail?

Sei.

SixDegrees.png

Tale esperimenti, le varie pubblicazioni, conferme varie (e.g. il numero medio delle conversazioni su MSM Messanger conferma(va) 6.6. gradi di separazione) e le ripercussioni nella cultura di massa, portarono la teoria dei sei gradi di separazione a poter essere applicata anche in ambiti diversi: epidemiologia, reti elettriche, telecomunicazioni, reti informatiche, etc.

Mi affascina la costanza nel caos della vita e delle relazioni umane. Che poi non siano sei i gradi di separazione o che (come mi aspetto) tendano a diminuire con il passare del tempo (e l’affermarsi di un mondo ed una umanità sempre più iperconnessa), mi rimane solo la conferma che il mondo sia in fondo più piccolo di quello che ci sembra; almeno finché non abbiamo il coraggio di andarlo ad esplorare.

WU

PS. Non so chi mi separi da te, oh lettore, ma mi aspetto che almeno uno legga questo post. E gironzoli un po’ per la rete per trovare tutti i vari link più-o-meno misantropi/misogeni che una teoria del genere può generare.

Collatz che tende ad 1

Altro giochino matematico (questo ve lo ricordate?)… prima di dirvi che rimane una delle congetture più inafferrabili della matematica.

Prendiamo un numero a caso, intero e maggiore di 1. Se il numero è pari dividiamo per due, mentre se è dispari moltiplichiamo per tre ed aggiungiamo uno. Algebricamente facciamo:

collatz1.png

Mi sembra abbastanza semplice, proviamo con 11. Tanto per tirare un numero a caso…

Prendiamo il numero risultante e riapplichiamo la regola. Che succede secondo voi?

Allora:

  • 11 è dispari, quindi faccio: 11*3+1 = 34
  • 34 è pari, quindi faccio: 34/2 = 17
  • 17 è dispari, quindi faccio: 17*3+1 = 52
  • 52 è pari, qundi faccio: 52/2 = 26

Avete l’impressione che stiamo divergendo? Che stiamo ottenendo numeri a caso? Ottimo, continuiamo.

  • 26 è pari, quindi faccio: 26/2 = 13
  • 12 è dispari, quindi faccio: 12*3+1 = 40
  • 40 è pari, quindi faccio: 40/2 = 20
  • 20 è pari, quindi faccio: 20/2 = 10
  • 10 è pari, quindi faccio: 10/2 = 5
  • 5 è dispari, quindi faccio: 5*3+1 = 16
  • 16 è pari, quindi faccio: 16/2 = 8
  • 8 è pari, quindi faccio: 8/2 = 4
  • 4 è pari, quindi faccio: 4/2 = 2
  • 2 è pari, quindi faccio: 2/2 = 1

Il fatto che abbia raggiunto 1 è un caso? Che succede se applica l’algoritmo ad 1?

  • 1 è dispari, quindi faccio: 1*3+1 = 4
  • 4 è pari, quindi faccio: 4/2 = 2
  • 2 è pari, quindi faccio: 2/2 = 1

torno ad 1. Effettivamente in alcuni enunciati dell’algoritmo si pone anche come condizione di stop quando la serie raggiunge 1.

Ora la domanda, da molti milioni di dollaroni, è, ma si raggiunge sempre 1 o esiste qualche numero (magari con qualche decina di cifre, tanto per essere ultra-difficile da scovare…) per cui ciò non è vero? Beh, la risposta è, come nelle migliori tradizioni, non lo sappiamo.

Esatto, siamo di fronte alla congettura di Colaltz.

Non esiste una dimostrazione matematica che si finisce sempre con l’ottenere 1 (che come abbiamo visto ritorna ad uno nel giro di tre iterazioni), ma è stata provata numericamente (al pc, per intenderci) fino a circa 1 x 10^20… un numero decisamente grande da lasciare qualche dubbio che il primo contro-esempio possa essere ancora maggiore…

Inoltre, un po’ ad occhio, l’algoritmo dimezzando i numeri pari e facendo *3+1 con i dispari aumenta solo i dispari di un fattore circa 3/4, quindi vi sono buone speranze che questi decrescano verso 1.

Per farla breve: ci crediamo tanto ed effettivamente abbiamo buone ragioni per farlo, ma dimostrare matematicamente che sappiamo come finisce questo giochino in tutti i casi possibili ed immaginabili non è alla nostra portata.

La matematica non è ancora pronta per problemi di questo tipo [Paul Erdős, matematico, circa questa congettura]

WU

PS. Sotto un po di fury computations (si, ho fatto uno stupido foglio excel fare giocare… peto venia) con tre esempi dell’andamento dei valori per 11, 367 ed 888.
L’andamento ed i valori raggiunti dalla successione variano sostanzialmente, ma il destino unitario rimane lo stesso.

collatz2.png

La costante

C’è una legge, una proprietà a cui niente e nessuno di noi è capace di sfuggire.

Esiste una certa quantità che non cambia mai qualunque siano i molteplici passaggi che la natura si inventa. E’ un qualcosa che non cambia, qualunque cosa accada. Diciamo pure che è un numero. In qualunque modo lo si calcoli prima, dopo e durante i capricci della natura il risultato è lo stesso. Possono cambiare i fattori, le formule, i contributi; possiamo modificarlo, mutarlo, ma alla fine il risultato sarà ineluttabilmente lo stesso. Come dire il numero ed il tipo di mosse sceglietelo pure a piacere, ma un pezzo nero degli scacchi nascerà e morirà sul nero (o sul bianco).

La formula per calcolare il numero aumenterà di complessità ed incorporerà sempre più termini man mano che si considera un ambiente più esteso. Man mano che si prenderanno in considerazione tutte le evoluzioni di questa quantità si arriverà a dover andare a vedere se un po’ di essa si è nascosta nell’armadio del vicino o nel laghetto a 1000 km. Ma se consideriamo tutto, ma proprio tutto, quella quantità rimarrà immutata.

Sempre. Rifate il conto fra migliaia di anni e fatemi sapere.

La cosa concettualmente più difficile da accettare è che non stiamo parlando di pasta, acqua o monete. Stiamo parlando di un concetto astratto che le nostre limitate menti non riescono a visualizzare. Stiamo parlando del niente che governa le nostre vite e ci permette di essere qui.

Innanzi tutto dobbiamo stare attenti a considerare uno stesso sistema. Sempre lo stesso. La nostra quantità invisibile può abbandonare il sistema, un’altra parte potrebbe introdurvisi. Dobbiamo stare attenti a considerare i contributi esterni… altri,enti ci troviamo con il nostro scacco che si muovo sul tabellone del Monopoli… e gridiamo al miracolo.

Dobbiamo poi fare attenzione a scovarla. La nostra quantità, abbiamo detto, può assumere molteplici forme diverse e sta a noi riconoscere dove si è nascosta e fare del nostro meglio per considerala… se vogliamo effettivamente avere conferma che il nostro numero non è variato.

Stiamo parlando dell’energia. Sappiamo che si conserva, non sappiamo cosa sia. Abbiamo formule per calcolarla nelle sue diverse forme, abbiamo contezza di dove può nascondersi, non abbiamo idea della sua origine.

WU

PS. Un approccio volutamente “alla Feymann” (… magari) alla questione. e proprio in virtù di tale ambizione lasciatemi chiudere con una sua chiosa che mi ricorda che non voglio insegnare nulla a nessuno, ma semplicemente imparare.

Non vedevo a cosa servisse un sistema di autoriproduzione nel quale si superano esami per insegnare ad altri a superare esami, senza che nessuno impari mai niente. [R. Feymann]

Se volete una trattazione seria ed accademica sulla legge di conservazione dell’energia ne trovate a tonnellate in giro; anzi, scommetto che vi hanno già martellato con questo concetto… in forme decisamente meno accattivanti.

6174

Facciamo questo gioco:

  • Prendete un qualsiasi numero di quattro cifre, contenente almeno due cifre differenti (Se proprio vi serve potete anche inserire degli zeri anche all’inizio).
  • Ordinate le cifre in ordine decrescente e poi in ordine crescente così da ottenere due numeri di quattro cifre.
  • Sottraete il numero più piccolo da quello più grande.
  • Ripetere il processo partendo dal secondo punto.

Facciamo un esempio: 1785.

  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1578 e 8751. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 7173. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1377 e 7731. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6354. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 3456 e 6543. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 3087. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 0378 e 8730. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 8352. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 2358 e 8532. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6174. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1467 e 7641. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6174. Ripetiamo? No, aspetta.

Abbiamo ottenuto lo stesso numero da cui siamo partiti nell’ultima iterazione?!

Potete ora provare (e sono certo non vedete l’ora con un numero a caso), ma il risultato convergerà sempre, e dico sempre, al 6174. Questo numero, una volta raggiunto da se stesso. E’ la costante di Kaprekar.

La costante è il numero a cui tende il processo sopra descritto in al massimo 7 iterazioni (inserite gli zeri alla bisogna per mantenere il numero di quattro cifre). Gli unici numeri di quattro cifre che non convergono al 6174 sono quelli con cifra ripetuta (e.g. 1111).

E’ interessante notare anche che in ogni iterazione, i due numeri che vengono coinvolti nella sottrazione possiedono la stessa somma di cifre (d’altra parte possiedono proprio le stesse cifre solo in ordine diverso), cioè 9. Quindi il risultato di ogni iterazione dell’operazione di Kaprekar è sempre un multiplo di 9.

Chi se lo aspettava che un numero apparentemente anonimo come 6174 avesse questa fantastica proprietà. Si, ma… perché? Ulteriore conferma che non credo abbiamo ancora capito fino in fondo le vere proprietà dei numeri, figuriamoci della matematica.

WU (affascinato)

PS.

Se fate lo stesso gioco per un numero di tre cifre otterrete 495 come costante di Kaprekar, mentre non avrete nessun punto fisso (anzi, ve ne sono diversi e vi sono anche diverse possibilità che il processo vada in loop) per numeri di cinque cifre o superiori.

Per quelli di cinque cifre vi sono tre possibili loop con altrettanti punti fissi:

  • 71973→83952→74943→62964→71973
  • 75933→63954→61974→82962→75933
  • 59994→53955→59994

Ma la cosa forse più strana è che tale costante non esiste neanche per i numeri di due cifre! Cosa avranno di speciale i numeri di tre e quattro cifre?

25 luoghi

Ci muoviamo, viaggiamo, cambiamo ambienti, frequentazioni, ritmi durante il corso della nostra vita. Oggi viviamo in un mondo iperconnesso, dove spostarsi è molto più facile che in passato; il giro del mondo lo possiamo fare in molto meno di 80 giorni. Eppure in un mondo ove viaggiare non è un limite, i limiti ce li mettiamo da noi comunque (ed in questo, non solo in questo ambito, siamo maestri).

Allora, analizzando circa 40.000 tracce mobili raccolte da un vasto pool di persone nel corso di anni abbiamo visto quando e più o meno dove ci piace essere. E’ uno studio che ambisce ad indagare la mobilità umana globale e nel corso dell’intera esistenza. E’ ambizione pura, e pertanto rispondere con un numero lo rende ancora più affascinante.

25 luoghi; ecco la risposta. Indipendentemente dal momento della nostra vita, dalle nostre abitudini, dalla nostra origine, in questa epoca noi visitiamo regolarmente 25 luoghi. Ecco tutto.

We reveal that mobility patterns evolve significantly yet smoothly, and that the number of familiar locations an individual visits at any point is a conserved quantity with a typical size of ~25.

Lo studio ha dapprima analizzato le tracce mobili di 1000 studenti ed ha trovato “il numero magico”. Lo stupore è aumentato a dismisura quando il numero si è ripresentato anche su un campione ancora più vasto di 40.000 tracce mobili. Sempre 25 i luoghi visitati regolarmente da queste persone in un generico momento della loro (nostra) vita.

Una costante, una quantità che si conserva lungo la nostra esistenza.

People are constantly balancing their curiosity and laziness. We want to explore new places but also want to exploit old ones that we like. Think of a restaurant or a gym. In doing so we adopt and abandon places all the time. We found that this dynamics yields an unexpected result: We visit a constant, fixed number of places […]

Ovviamente i luoghi non sono sempre gli stessi, ma se ne aggiungono tanti quanti se ne rimuovono; come dire da piccoli facciamo il parco, da adolescenti il pub, poi il centro commerciale, quello-che-vi-pare, il cantiere (ode agli anziani a mani dietro la schiena dietro le verdi reti), e via dicendo. Ma il totale dei luoghi in cui ci muoviamo è mediamente sempre 25.

Un numero fisso e costante che rappresenta il nostro (s)bilanciamento fra le nostre sicurezze e la nostra curiosità.

Non dipende dal tempo, dall’età o dalla città/nazione/continente in cui ci muoviamo; dipende dai vincoli che ci portiamo inconsciamente dentro

… e forse anche dal numero massimo di iterazioni sociali che siamo in grado di intrattenere.

Our research established a first formal connection between the study of human mobility and human social cognition. Clarifying this link will help us design better public spaces as well as better transportation systems. And ultimately facilitate the creation of more sustainable and healthy urban environment for all of us.

WU

Costante di Eulero-Mascheroni

Il limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale è un numero. Possiamo non capire nulla di teoria dei numeri, analisi matematica o amenità simili, ma è affascinante quanto meno sapere che la differenza fra due cose astratte e tendenzialmente infinite è un numero.

CostanteEM.png

Più precisamente è il numero γ.

γ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495

Non sappiamo ancora (uno dei tanti misteri nascosti nei numeri che maneggiamo quotidianamente) se tale costante è un numero razionale (praticamente ha un numero finito di decimali) o irrazionale (hai voglia a continuare a scrivere numeri dopo la virgola), ma sappiamo che se fosse razionale dovrebbe avere più di 10^242080 cifre!!

Si dice che Hardy abbia addirittura offerto la sua cattedra a Oxford a chi fosse stato in grado di dimostrare l’irrazionalità della costante di Eulero-Mascheroni. Hilbert considerò questo problema come “inaffrontabile”, etichettandolo come un problema dinanzi al quale i “Veri Matematici” non sanno come muoversi… e se ne stanno lì sconsolati.

La costante può svilupparsi in diverse serie (che vi risparmio) ed integrali (dai quali vi sollevo), è legata all’integrale esponenziale (che rimandiamo alla prossima volta), a funzioni gamma e digamma (che blandamente capisco) ed è alla base della funzione Z di Riemann (…magari….) che è a sua volta uno dei presupposti della teoria dei numeri e dei numeri primi. Già il fatto di fornirne approssimazioni più o meno accurate è un campo di ricerca della matematica.

Sempre toccando la cosa da “fruitore”, ovvero da ominide che cerca (vanamente) di imparare e solo nei suoi sogni più reconditi si immagina di poter avanzare la conoscenza a riguardo, rimango sempre impelagato nel provare a replicare qualcuno di questi passaggi matematici e “scoprire” la regolarità ed a tratti la rassicurazione che da sapere di giocare con l’infinito per avere un numero costante che, almeno in una certa approssimazione, so anche scrivere.

0.577; numero forse troppo sottovalutato dai non addetti ai lavori (possiamo candidare il 22.06 come giorno della suddetta costante (potrebbero essere alcune cifre dei decimali che ancora non conosciamo 🙂 )?

WU

PS. Ed il fatto che non è una costante che pare avere un equivalente “banale” nella vita quotidiana, in qualche forma della natura, nella dimensioni delle piramidi e cose del genere ne aumenta il fascino ulteriormente.

Praticamente un trionfo della regolarità dell’impalpabile.

PPSS. Qui un bel saggio a riguardo

Il Modulor

Per formulare risposte da dare ai formidabili problemi posti dal nostro tempo e riguardanti l’attrezzatura della nostra società, vi è un unico criterio accettabile, che ricondurrà ogni problema ai suoi veri fondamenti: questo criterio è l’uomo

Crasi di module e or (in riferimento alla section d’or. E’ “solo” l’interpretazione dell’architetto franco-svizzero Le Corbusier di uno dei temi più cari all’uomo: l’armonia delle forme. Dall’uomo Vitruviano di Leonardo, passando per Leon Battista Alberti siamo arrivati all’idea che il centro dell’armonia delle forme è proprio l’uomo.

Si tratta praticamente di una scala di proporzioni basate proprio su misure umane medie da utilizzare come vademecum per un’architettura a misura d’uomo. Questo almeno negli intenti del suo inventore e nell’utilizzo che ne fece. Oggi riceve diverse critiche (come si confà ad una scala che voglia abbracciare tutta la varietà del genere umano) che vanno dall’assenza del sesso femminile (non riconosciuto abbastanza armonioso) all’assenza di parametri di riferimento per elementi architetturali standard (non si può usare il Modulor per disegnare dei comodi scalini) per concludersi con le misure stesse di riferimento considerate (che forse tanto standard non sono…).

Nella sua prima versione (1948) e poi nell’aggiornamento del Modulor 2 (1955) Le Corbusier si disegnò il suo personalissimo metro che poi effettivamente usò nella realizzazione di diverse suo opere architettoniche.

Il Modulor è graficamente rappresentato (e credo che gran parte del successo di una scala forse non perfetta ed incompleta lo abbia fatto proprio una sapiente rappresentazione grafica) con una figura umana stilizzata con un braccio steso sopra il capo che si trova accanto a due misurazioni verticali.

Modulor.png

La serie rossa è basata sull’altezza del plesso solare (108 cm Modulor 1 e 113 cm Modulor 2) poi divisa in segmenti secondo il Phi=1.618 della sezione aurea. La serie blu basata sull’intera altezza della figura che è esattamente il doppio dell’altezza del plesso (216 cm Modulor 1 e 226 cm Modulor 2), a sua volta segmentata nello stesso modo. Fra le due serie si sviluppa una spirale che definisce anche i volumi dei vari segmenti.

In sostanza le due scale sono il legame fra l’elemento umano e quello matematico cercando di rapportare alle misure umane l’armonia (possiamo dire “universalmente riconosciuta”) che hanno edifici e superfici basati sulla sezione aurea. La convinzione alla base dell’idea è che “solo l’utente ha la parola” ovvero che la dimensione umana deve troneggiare. Poi vi era anche la possibilità di modellare un uomo (diciamo pure non un uomo qualunque, ma praticamente solo uno alto 108/113 – 216/226 cm) secondo i numeri della sequenza di Fibonacci (il rapporto fra due numeri consecutivi della sequenza è costante ed è proprio la sezione aurea).

La sequenza si applica sia ad un quadrato di lato 113 (27, 43, 70, 113, 183, etc.), nella “serie rossa”, sia ad un rettangolo di dimensioni 113×226 (53, 86, 140, 226, 366, etc.), nella “serie blu”.

Le due serie potevano (e, con tutti i limiti del caso, lo possono tutt’ora nonostante il progressivo disuso del modello) essere utilizzate per dare quella piacevole regolarità matematica (che limitando un po’ l’estro dell’uomo evita anche di fare qualche obbrobrio di troppo) ed estetica ad un manufatto architettonico (o anche meccanico)…

WU

PS. Se contestualizziamo storicamente il tentativo è quello di recuperare una dimensione umana, fin nelle cose concrete del quotidiano, nel periodo post bellico.

Il kilogrammo di Plank

Nulla è più come prima (… e come mi sento vecchio in questi asserti) dalla nonnina che cuce sull’uscio di casa al chilogrammo. Eh ???

Si, neanche il nostro punto di riferimento per vacui discorsi da palestra o da macellaio è destinato a rimanere quello di un tempo, a partire dal 2019 un kilo non sarà più un kilo (cioè si, sarà sempre lui, ma non più fisicamente lui). E, forse, meglio così … no, non per la gioia dei fautori del sistema imperiale britannico.

In origine era un cilindretto di platino-iridio (conservato a Parigi come ci insegnano a scuola) che portava sulle sue spalle la responsabilità di tarare tutte le bilance del mondo. Un ruolo decisamente poco invidiabile per il piccolo oggetto che porta comunque egregiamente avanti da circa 130 anni. Per alleviarne le sofferenze, nel 1889 furono prodotti 18 campioni destinati ad essere identici (e già l’uso di questa parola non può che far storcere il naso) al cilindretto originale per essere distribuiti nei vari paesi affinché vi fossero più riferimenti quando si parla di Kg, gr, hg e simili. Ovviamente la precisione e la misura della massa si riflette direttamente su tutte le grandezze che da essa dipendono (e non sono poche), e.g. densità, candela, ampere, mole, etc.

Periodicamente tali “copie” fanno un viaggio a Parigi per essere confrontate con l’originale (o meglio, anche qui, con copie di lavoro dell’originale). Ovviamente il paragone non è come quando andiamo dal fruttivendolo. I campioni sono conservati sotto teche stagne, vanno lavati con acqua bi-distillata e speciali solventi, non vanno sfregati per non rimuovere materiale ed astuzie del genere. Inoltre una volta ogni 40 anni, il cilindro dei cilindri, il chilogrammo originale, viene rimosso dalla sua teca per fare un’ulteriore paragone con i 18 esemplari e con le sue copie di lavoro.

KgCampione.png

Beh, il punto è che nonostante tutte queste copie ed accortezze, il chilogrammo padre ha perso circa 50 microgrammi rispetto a tutti gli altri. O meglio, la differenza è di 50 microgrammi, ma che sia lui ad aver perso peso o gli altri ad averlo preso non ci è dato saperlo. Il meccanismo che ha causato tale variazione di peso non è affatto chiaro, mentre è chiaro che questo macchinoso sistema è intrinsecamente impreciso. Ah, la precisione richiesta per queste misure? Venti parti su un miliardo…

Il problema è superabile modificando il riferimento del chilogrammo da un campione fisico ad una grandezza fisica universalmente misurabile, come ad esempio la forza elettromagnetica, esprimibile a sua volta in funzione della costante di Plank (finalmente una grandezza universale!). La bilancia di Kimble è praticamente una bilancia a due bracci; su uno dei due viene posizionato un peso , mentre l’altro è lasciato vuoto ed il peso è controbilanciato da una corrente elettrica che scorre in un un filo immerso in un campo magnetico. La misura della corrente (che è poi la precisione nella misurazione della costante di Plank, ovvero di decine di parti su miliardo) è precisa quanto basta per vedere che forza serve per bilanciare il chilogrammo campione. Anche qui, ovviamente, più facile a dirsi che a farsi, dato che la bilancia deve essere isolata da qualunque perturbazione esterna, la precisione nella misurazione della corrente deve essere molto elevata, così come la ripetibilità della stessa.

Praticamente spostiamo il problema da accortezze manuali per il trattamento di un campione fisico ad accortezze tecnologiche nella misurazione di grandezze fisiche.

Un primo passo avanti.

WU

PS. Il peso è comunque l’ultimo superstite di un sistema di misurazione basato su oggetti fisici. Le altre due grandezze fisiche di riferimento, il metro ed il secondo, sono state già sostituite da costanti della natura: il metro è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299.792.458 di secondo; il secondo è la durata di 9.192.631.770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini dell’atomo di cesio-133.

Il che è l’ennesima prova che della massa (e della gravità ad essa associata), benché ce l’abbiamo davanti da millenni, non abbiamo ancora capito tutto.