La spirale di Teodoro

Allora, funziona così:

  • facciamo un punto su un foglio (e fin qui è facile). Sarà il centro della spirale (non fatelo, come me, su un angolino…)
  • Partendo da questo punto costruiamo un triangolo rettangolo con i due lati di lunghezza unitaria (per una certa congruità con il resto della costruzione uno dei due lati, diciamo che ha lunghezza radice di 1.
  • Archimede ci dice che l’ipotenusa di questo triangolo è radice di 2
  • costruiamo quindi un altro triangolo rettangolo, contiguo al precedente, che avrà quindi un cateto di lunghezza radice di 2, e l’altro lato unitario. L’ipotenusa sarà radice di tre.
  • Continuiamo con il giochino. Ogni triangolo attaccato al precedente con un lato di lunghezza unitaria e l’altro radice di un numero reale determinato dal triangolo precedetene. Il triangolo ennesimo della serie è un triangolo rettangolo con un lato (chiamiamolo quello esterno) unitario e l’altro radice di n. L’ipotenusa sarà radice di n+1.

Viene fuori una spirale.

SpiraleTeodoro

Se ci fermiamo a n=17 abbiamo fatto tutto il giro ed abbiamo costruito la “versione base” della spirale di Teodoro che, a parte un bel disegnino, è il metodo che fu utilizzato dal matematico (stiamo parlando di Teodoro di Cirene, matematico della scuola pitagorica, vissuto attorno al V sec. a.C.) per dimostrare che tutte le radici quadrate degli interi che non sono quadrati perfetti da 3 a 17 sono numeri irrazionali. Ah, beh, poi è forse poco pratico, ma di certo il metodo della spirale di Teodoro è un metodo geometrico per costruire la geometricamente la radice quadrata di un qualsiasi numero reale.

Ovviamente la costruzione geometrica può continuare anche oltre il 17 costruendo una spirale che si articola su più giri. Nel 1958, E. Teuffel, dimostrò che anche continuando indefinitamente la spirale di Teodoro non vi saranno ipotenuse coincidenti ed anche che estendendo i lati dei triangoli della spirale indefinitamente questi non incontreranno mai i vertici degli altri triangoli.

Ci sono poi alcune proprietà più squisitamente matematiche di questa spirale, le tre più salienti:

  • la tangente dell’angolo al vertice del triangolo n-simo è 1/radice(n)
  • la somma degli angoli al vertice dei primi k triangoli è 2*radice(k)+ un numero magico (che tende per k che tende all’infinito a -2.15778299… chissà quali altre proprietà ha un numero del genere… rigorosamente irrazionale.)
  • il raggio della spirale cresce come radice (n+1) – radice(n).

Nel circolo (o nella spirale) di quelle curiosità matematiche che vale la pena sapere… almeno per fare una cose sensata la prossima volta che massacrerò un foglio bianco per tenere la mente impegnata con qualche scarabocchio durante noiose riunioni o routinarie mansioni.

WU

Il rapporto aureo, sulla carta

Io sarò perverso, ma questo è veramente “nerd a bestia” (e non mi meraviglia che sia opera di Randall)!

XKCD240620

Sento, e ripeto, spesso che la “golden ratio” è ovunque, ma onestamente non avevo mai pensato alle dimensioni standard dei fogli. Ammetto, ed anche senza troppa vergogna, che è sempre stato uno di quegli standard che ho sempre capito poco sia nella genesi che nell’applicazione.

La cosa più banale (solo secondo me?) è misurare i lati di un foglio, ma evidentemente non è così per gli standard ISO 216. Il formato parte da un foglio A0 di 1mq, ma NON di lato 1 metro, bensì 841mm x 1189mm. Il motivo (o meglio la spiegazione) è che tutto lo standard si basa su un unico rapporto d’aspetto della radice quadrata di 2 (quindi un rapporto di circa 1:1.412) e poi procede semplicemente facendolo a metà, metà della metà, metà della metà della metà, e via dicendo.

Sempre secondo lo standard ISO vi sono sia i formati “A” che quelli “B”. L’area dei fogli di questa serie è ottenuta come media geometrica dei fogli della serie A (per fare le cose semplici). B1, ad esempio, si trova fra l’A0 e l’A 1ed ha un’area di 0,71 m² (√0.5). B0 è lungo 1 m e poi si procede ancora con metà, metà della metà, etc. Serie molto usata negli uffici e comunicazioni formali. Se poi volete continuare… esiste anche la serie C, D ed E.

Ah, e questo è solo lo standard ISO, quello più utilizzato certo, ma non l’unico.

Ora l’analisi di Randall si limita alla serie A, ma sono certo che se scaviamo un po’ va benissimo anche per le altre serie. La cosa che mi consola è che forse mediante un approccio “golden ratio” (la fantastica spirale) riuscirò finalmente a capire anche lo standard ISO 216. Se strappo un foglio di carta non so ora se faccio un torto alla ISO o al rapporto aureo.

WU

Il limite della c

Facciamo un piccolo ripassino, sempre per la serie cose a caso e fatte male. Con tanto di scuse anticipare per i tecnici o i puristi per la spiegazione grossolana.

Almeno finché non balzerà fuori la prossima notizia di un qualche neutrino (con tanto di annesso fanta-tunnel) più veloce della luce dobbiamo convivere con un postulato fisico fondamentale: ovunque nell’universo la velocità della luce nel vuoto (c) rappresenta un limite invalicabile.

E’ una delle basi di tutta la relatività ristretta, teoria che ci dice anche qualcosa di più: non importa quanto siamo bravi, veloci o leggeri, quanto più ci avviciniamo tanto più sarà difficile avvicinarci ancora ed al limite impossibile raggiungere esattamente il valore di c.

Facendo un piccolo excursus storico. La relatività ristretta è una teoria che vede la luce nel 1905, qualche anno prima, nel 1887, Michelson e Morley in Ohio fecero un esperimento fisico dai risultati sorprendenti (che evidentemente ispirò Einstein stesso…). Presero due fasci di luce e li fecero scontrare.

Ora, se prendiamo Bolt (45km/h) ed un Ghepardo (120 km/h) e li facciamo correre l’uno contro l’altro questi si scontreranno ad una velocità relativa di 45+120=165 km/h. Molto dolore. Se prendiamo due fasci di luce, ciascuno che viaggia per definizione ad una velocità c e li facciamo scontrare (sia quando la Terra era vicina al Sole che quando era lontana) questi si scontreranno ad una velocità relativa pari a… beh 2c secondo quello che ci aspettiamo, c secondo l’esperimento di Michelson e Morley e successivamente secondo la teoria della relatività ristretta.

La formuletta che spiega tutto questo è (Einstein copyright, anche se molto parente di una applicazione della trasformazione di Lorentz) una rivisitazione del concetto di velocità relativa in cui la stessa costante (appunto) c compare al denominatore.

Vrel

L’equazione ci dice alcune cosette assolutamente affascinanti: due fasci di luce che viaggiano a velocità c si scontreranno a velocità c. La velocità relativa fra due corpi che si muovono a “velocità umane” (parecchio subliminari) è sostanzialmente la somma delle velocità (il denominatore è praticamente 1, la differenza rispetto ad una classica addizione è impercettibile). L’incremento di energia necessario ad aumentare la nostra velocità è tanto maggiore quanto più siamo prossimi alla velocità della luce.

Se stiamo fermi sarà relativamente facile portarci ad una velocità di 5 km/h, se viaggiamo a 20 km/h sarà un po’ più difficile arrivare a 25 km/h (anche se l’incremento è sempre di 5 km/h) e se corriamo a 45 km/h (Bolt) per arrivare a 50 km/h ne abbiamo di record da battere. Al limite, con velocità ben diverse, per raggiungere esattamente 300.000 km/s avremmo bisogno di una quantità infinita di energia, energia che sarà via via maggiore per ogni incremento di velocità man mano che ci avvinciamo a c. Conseguenza della relatività ristretta, conseguenza dell’invarianza di c.

Ah, la velocità, come grandezza, è un rapporto. Se il rapporto è costante all’aumentare di una delle due grandezze l’alta deve fare lo stesso. Se deformiamo lo spazio (gravità) il tempo non può rimanere indifferente… da cui il dittongo spazio-tempo ed il la per Einstein per la relatività generale.

Lo spazio (ed il tempo) per continuare a fantasticare è abbondante; lasciando in pace c ed immaginandosi che succederebbe a superarla… si, i viaggi nel tempo richiedo questo almeno non a livello quantistico.

WU

PS. tanto per mettere un altro po’ di carne al fuoco, ricordiamoci che il valore di c è sostanzialmente frutto di una serie di dati sperimentali ed il principio di indeterminazione di Eisenberg ci dice chiaramente che il valore reale non lo potremo mai misurare. Amen.

La costante che cambiava

Ci sono costanti che stanno ferme ed altre “costanti” che abbiamo bisogno di definire tali per tenere in piedi la nostra migliore modellazione dell’universo che ci circonda, ma che di star ferme non ne vogliono proprio sapere. Il che, a complicare le cose, non vuol dire però che siano quantità variabili.

La costante di Hubble è quel numero che ci dice a che velocità l’universo si sta espandendo, la distanza fra le galassie e non ultimo proprio l’età del cosmo. La costante di Hubble è quel valore che lega lo spostamento verso il rosso (redshift) della luce delle galassie e la loro distanza: maggiore la distanza di una data galassia, maggiore il suo spostamento verso il rosso.

In soldoni la costante di Hubble di da una relazione lineare fra velocità e distanza delle galassie (fra l’altro confermando il principio cosmologico che l’universo sia isotropo ed omogeneo su larga scala). Storicamente è stata la scoperta che ha spazzato via, in un sol colpo, tutti i modelli statici di universo (come erroneamente previsto da Einstein) e fatto strada ai modelli dinamici, incluso quello del Big Bang oggi largamente accettato.

La costante di Hubble è si costante nello spazio (ovunque guardiamo nell’universo), ma non nel tempo! Il che spiegherebbe anche perché tale “costante” presenta valori diversi se la si misura con strumenti diversi. Nel cosmo, infatti, il dove è molto parente del quando e puntando strumenti su oggetti molto lontani vuol dire guardare tanto indietro nel tempo…

Secondo le ultime osservazioni/studi/analisi oggi il valore della costante di Hubble è 76,8 chilometri al secondo per megaparsec ((km/s)/Mpc). Puntando ad oggetti diversi, più lontani nello spazio e nel tempo, il valore rilevato era invece 71,9 (km/s)/Mpc ed ancora, il valore della costante calcolato partendo dalla radiazione cosmica di fondo (ancora più indietro nel tempo) era di 67,4 (km/s)/Mpc.

La variazione del valore della costante è da attribuirsi alla forza di gravità che tenderebbe a far rallentare l’espansione dell’universo e la “misteriosa” energia oscura (che è alla base della costante cosmologiche gioia-e-dolore di Einstein) che invece tende a farla aumentare.

Possiamo fare anche un passetto ulteriore. Se la costante di Hubble mi dice in qualche modo la velocità alla quale si sta espandendo l’universo, la distanza di Hubble può essere definita come la distanza massima alla quale posso guardare considerando la velocità di espansione (e sempre assumendo costante la velocità della luce). Tale distanza è la distanza massima dall’osservatore oltre la quale leggi fisiche, spazio e tempo perdono significato. Guardare oltre non significa più nulla (e non è oggi tecnicamente possibile).

La distanza di Hubble “stimata” e “costante” è di 16.000.000.000 di anni luce.

WU

PS. Quando diciamo che l’età dell’universo è 13.82 miliardi di anni (solo?) assumiamo il valore della costante determinato dalla missione WMAP (71,0±2,5 (km/s)/Mpc).

Banana Equivalent Dose

La banana equivalente, e radioattiva. Non facciamo troppo allarmismo (… anche se un po’ ci fa sempre piacere 🙂 ).

Quasi tutti, praticamente tutti, i materiali organici contengono certe quantità di isotopi radioattivi, soprattutto potassio 40, anche in assenza di qualsiasi contaminazione antropica o comunque artificiale.

Le banane sono materiali organici… e contengono, come tutti sappiamo, molto potassio. Mangiando questi frutti ingurgitiamo un decimo di sievert (0.078 Sv, per la precisione). Lo sievert è l’unità di misura standard per misurare l’effetto biologico delle radiazioni su un individuo. La cosa “simpatica” è che la radioattività del potassio nelle banane espone a radiazioni anche non ingerendole! Ovviamente tenere in mano una singola banana non fa nulla, ma un grosso carico di banane… fa scattare gli scanner anti radiazione.

Ovviamente non tutte le banane contengono esattamente lo stesso quantitativo di isotopi radioattivi, ma (e qui sta il bello) qualcuno ha scritto in un vecchio documento una frase che in qualche modo “ci è piaciuta”. In uno studio del 1995, infatti, del Lawrence Livermore National Laboratory (laboratorio di ricerca del Dipartimento dell’Energia degli Usa), un qualche responsabile ha sottolineato l’importanza delle “banane radioattive” per spiegare gli effetti dell’esposizione di dosi infinitesime di materiale radioattivo ai profani.

Da allora, e per i casi della vita, la BED (banana equivalent dose) è diventata una stana unità di misura che quantifica (a tutti gli effetti) l’esposizione di un individuo agli effetti di radiazioni.

E’ mi immagino già frasi tipo “oggi, con il mio pasto, ho praticamente ingurgitato sette ettoBED! Incredibile!” 🙂 . Tanto per fare qualche paragone: la dose di radiazione naturale giornaliera media è circa 100 BED; la dose assorbita semplicemente dormendo accanto ad un’altra persona è di 0.5 BED; in Italia nei 10 anni successivi all’incidente di Cernobyl vi fu un livello di radiazione pari a circa 11.5 BED al giorno; la dose assorbita in una radiografia al torace è pari a 70,000 BED ed infine assorbendo 80,000,000 di BED… siamo morti.

Attenzione, attenzione: il potassio NON si accumula nei tessuti. Pertanto la dose di materiale radioattivo che ingurgitiamo non si somma con il tempo (a meno di casi patologici). Il nostro corpo contiene circa 2.5 g di potassio per ogni kilo; il che vuol dire che un adulto di 70 kg (tipo me) si porta a spasso circa 175 g di potassio, ovvero 5400 Bq di radioattività, costante durante la vita adulta. Il nostro corpo impiega circa 30 giorni a riportare il corpo a valori nominali di potassio dopo l’assunzione di potassio 40 puro.

Ah, tanto per concludere, tenete presente che le banane, benché detentrici della loro unità di misura, non sono gli unici alimenti ricchi di potassio (e radioattivi); spiccano anche patate, fagioli, semi di girasole e frutta secca.

L’ingestione di tre banane al giorno per un anno equivale ad una esposizione di 100 micro sievert che incrementa il rischio di morte di circa un milionesimo… sono certo non guarderete più le banane con gli stessi occhi.

WU

Il problema dei conigli

Quante coppie di conigli verrebbero prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia da alla luce una nuova coppia che diventerebbe produttiva a partire dal mese successivo.

Ok, rileggiamo.

Abbiamo una coppia di conigli, il primo mese. Al secondo mese abbiamo la coppia originaria e la nuova coppia di coniglietti da questa generata. Il mese successivo abbiamo che la coppia originaria genera un’altra coppia, mentre la coppia nata il mese precedente (diciamo la fine?) non ha ancora procreato; abbiamo quindi tre coppie. Al mese quattro abbiamo che sia la coppia originaria, sia la prima coppia generata danno alla luce due nuove coppie di roditori, siamo a cinque coppie. …e così via (come di solito si dice quando le cose diventano troppo complesse da spiegare).

A parte i miei deliri, il problema in questione fu posto dal re di Sicilia Federico II, ma se non vi siete persi troppo nella precedente descrizione di coppie e conigli vi sarete accorti che la cosa intrigante è la successione che risponde al quesito. I primi dodici termini della successione (nonché la risposta al quesito che ne è poi la genesi) sono;

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 255, 377

Dopo un anno abbiamo 377 coppie di conigli; il re di Sicilia era contento e Fibonacci aveva “scoperto” la sua successione (ma voi siete di quelli che pensano che la matematica è già scritta e noi la dobbiamo scoprire oppure che è tutto un costrutto umano, benché dimostrabilmente incompleto, che costruiamo ed ampliamo giorno per giorno?).

La successione di Fibonacci è composta da termini che sono via via la somma dei due precedenti… proprio come la “gemmazione” dei conigli di cui sopra. Senza sproloquiare sulle sue n proprietà, facciamo almeno un cenno (un altro?!) alla sezione auree che è, magia delle magie, il rapporto costante fra due termini consecutivi della successione.

La sezione aurea è stata per secoli l’incarnazione del concetto di armonia; dalle piramidi alle spirali naturali la ritroviamo praticamente ovunque e la cosa decisamente suggestiva è che qualcosa che ci pare ben fatto o ben proporzionato è molto probabile nasconda la sezione aurea come numero magico del rapporto fra alcune sue parti. Un girasole? Il Partenone? La Gioconda? Il Modulor (forse il primo a fare un uso cosciente)?

Benché armonico per eccellenza, la sezione aurea è un numero “sporco”, ovvero irrazionale, si può determinare in un’infinità di modi, ma forse il più famoso (e comodo) è:

phi = (1+radice(5))/2 = 1,6180339887

La sezione aurea si può ottenere dal rapporto fra due lunghezze diverse delle quali la maggiore è medio proporzionale fra la somma delle due e la minore. Eh? Se siete alti 170 cm, ed siete ben proporzionati possiamo assumere che il vostro ombelico si trovi ad una distanza da terra che è data dalla sezione aurea per la vostra altezza; ovvero a circa 105 cm dal terreno ed il vostro busto misura circa 65 cm. Se fate il rapporto fra tutti questi numeri indovinate che ritrovate?

Il perché questo numero ci piaccia così tanto non lo sappiamo, il perché ricorra così spesso in natura è puro mistero, ma esiste, lo vediamo (più o meno inconsciamente) ogni giorno e l’abbiamo “scoperto” grazie a qualche coppia di conigli (e tanto genio matematico).

WU

Quanta gente fra te e me

Fra me e te ci sono non più di 5 persone. E non mi interessa chi tu sia. E non so chi sono i nostri intermediari. So solo che siamo separati da sei gradi. In altre parole, con un approccio statistico: “Dato un insieme di N persone, qual è la probabilità che ogni membro di N sia connesso a un altro membro attraverso k_1, k_2, k_3… k_n collegamenti ?”

Anche se può sembrare abbastanza una minghiata (e forse lo è come un po’ tutte le cose statistico-sociologiche), la teoria dei sei gradi di separazione non è proprio così campata in aria.

La teoria fu coniata nel 1929 da F. Karinthy, scrittore ungherese, e fino al 1967 nesso la riuscì a “dimostrare”. Finché Milgram (si, lo stesso Milgram di questo altro esperimento sociale qua) sottopose l’ipotesi ad una prova empirica (in realtà, sotto forma di teoria del mondo piccolo).

L’esperimento fu condotto chiedendo ad un gruppo di statunitensi a caso di spedire un pacchetto ad una persona a caso nel Massachusetts. L’indirizzo preciso non fu dato, ma solo una indicazione della zona di residenza. Fu chiesto ai soggetti individuati di spedire il pacchetto ad una persona di loro conoscenza che secondo loro potesse avere la maggiore probabilità di conoscere il destinatario finale. Quella persona avrebbe poi fatto lo stesso e così via fino a che il pacchetto non fosse stato consegnato.

Milgram si aspettava diverse centinaia di passaggi per recapitare i pacchetti (e sperava così di sconfessare la teoria dei sei gradi di separazione), invece con sua grande sorpresa (e forse disappunto) si accorse che erano sufficienti fra i 5 ed i 7 passaggi. Solo?!

Ora, c’è da dire che il numero di pacchetti inviati da Milgram era abbastanza esiguo, ma nel 2001 Watts ripeté l’esperimento sostituendo il pacchetto con una mail che doveva essere recapitata a 48.000 destinatari (questo si che mi pare un campione statistico di dimensione ragionevole!) in 157 paesi diversi. Indovinate un po’ quale fu il valore medio dei passaggi (forward) per recapitare la mail?

Sei.

SixDegrees.png

Tale esperimenti, le varie pubblicazioni, conferme varie (e.g. il numero medio delle conversazioni su MSM Messanger conferma(va) 6.6. gradi di separazione) e le ripercussioni nella cultura di massa, portarono la teoria dei sei gradi di separazione a poter essere applicata anche in ambiti diversi: epidemiologia, reti elettriche, telecomunicazioni, reti informatiche, etc.

Mi affascina la costanza nel caos della vita e delle relazioni umane. Che poi non siano sei i gradi di separazione o che (come mi aspetto) tendano a diminuire con il passare del tempo (e l’affermarsi di un mondo ed una umanità sempre più iperconnessa), mi rimane solo la conferma che il mondo sia in fondo più piccolo di quello che ci sembra; almeno finché non abbiamo il coraggio di andarlo ad esplorare.

WU

PS. Non so chi mi separi da te, oh lettore, ma mi aspetto che almeno uno legga questo post. E gironzoli un po’ per la rete per trovare tutti i vari link più-o-meno misantropi/misogeni che una teoria del genere può generare.

Collatz che tende ad 1

Altro giochino matematico (questo ve lo ricordate?)… prima di dirvi che rimane una delle congetture più inafferrabili della matematica.

Prendiamo un numero a caso, intero e maggiore di 1. Se il numero è pari dividiamo per due, mentre se è dispari moltiplichiamo per tre ed aggiungiamo uno. Algebricamente facciamo:

collatz1.png

Mi sembra abbastanza semplice, proviamo con 11. Tanto per tirare un numero a caso…

Prendiamo il numero risultante e riapplichiamo la regola. Che succede secondo voi?

Allora:

  • 11 è dispari, quindi faccio: 11*3+1 = 34
  • 34 è pari, quindi faccio: 34/2 = 17
  • 17 è dispari, quindi faccio: 17*3+1 = 52
  • 52 è pari, qundi faccio: 52/2 = 26

Avete l’impressione che stiamo divergendo? Che stiamo ottenendo numeri a caso? Ottimo, continuiamo.

  • 26 è pari, quindi faccio: 26/2 = 13
  • 12 è dispari, quindi faccio: 12*3+1 = 40
  • 40 è pari, quindi faccio: 40/2 = 20
  • 20 è pari, quindi faccio: 20/2 = 10
  • 10 è pari, quindi faccio: 10/2 = 5
  • 5 è dispari, quindi faccio: 5*3+1 = 16
  • 16 è pari, quindi faccio: 16/2 = 8
  • 8 è pari, quindi faccio: 8/2 = 4
  • 4 è pari, quindi faccio: 4/2 = 2
  • 2 è pari, quindi faccio: 2/2 = 1

Il fatto che abbia raggiunto 1 è un caso? Che succede se applica l’algoritmo ad 1?

  • 1 è dispari, quindi faccio: 1*3+1 = 4
  • 4 è pari, quindi faccio: 4/2 = 2
  • 2 è pari, quindi faccio: 2/2 = 1

torno ad 1. Effettivamente in alcuni enunciati dell’algoritmo si pone anche come condizione di stop quando la serie raggiunge 1.

Ora la domanda, da molti milioni di dollaroni, è, ma si raggiunge sempre 1 o esiste qualche numero (magari con qualche decina di cifre, tanto per essere ultra-difficile da scovare…) per cui ciò non è vero? Beh, la risposta è, come nelle migliori tradizioni, non lo sappiamo.

Esatto, siamo di fronte alla congettura di Colaltz.

Non esiste una dimostrazione matematica che si finisce sempre con l’ottenere 1 (che come abbiamo visto ritorna ad uno nel giro di tre iterazioni), ma è stata provata numericamente (al pc, per intenderci) fino a circa 1 x 10^20… un numero decisamente grande da lasciare qualche dubbio che il primo contro-esempio possa essere ancora maggiore…

Inoltre, un po’ ad occhio, l’algoritmo dimezzando i numeri pari e facendo *3+1 con i dispari aumenta solo i dispari di un fattore circa 3/4, quindi vi sono buone speranze che questi decrescano verso 1.

Per farla breve: ci crediamo tanto ed effettivamente abbiamo buone ragioni per farlo, ma dimostrare matematicamente che sappiamo come finisce questo giochino in tutti i casi possibili ed immaginabili non è alla nostra portata.

La matematica non è ancora pronta per problemi di questo tipo [Paul Erdős, matematico, circa questa congettura]

WU

PS. Sotto un po di fury computations (si, ho fatto uno stupido foglio excel fare giocare… peto venia) con tre esempi dell’andamento dei valori per 11, 367 ed 888.
L’andamento ed i valori raggiunti dalla successione variano sostanzialmente, ma il destino unitario rimane lo stesso.

collatz2.png

La costante

C’è una legge, una proprietà a cui niente e nessuno di noi è capace di sfuggire.

Esiste una certa quantità che non cambia mai qualunque siano i molteplici passaggi che la natura si inventa. E’ un qualcosa che non cambia, qualunque cosa accada. Diciamo pure che è un numero. In qualunque modo lo si calcoli prima, dopo e durante i capricci della natura il risultato è lo stesso. Possono cambiare i fattori, le formule, i contributi; possiamo modificarlo, mutarlo, ma alla fine il risultato sarà ineluttabilmente lo stesso. Come dire il numero ed il tipo di mosse sceglietelo pure a piacere, ma un pezzo nero degli scacchi nascerà e morirà sul nero (o sul bianco).

La formula per calcolare il numero aumenterà di complessità ed incorporerà sempre più termini man mano che si considera un ambiente più esteso. Man mano che si prenderanno in considerazione tutte le evoluzioni di questa quantità si arriverà a dover andare a vedere se un po’ di essa si è nascosta nell’armadio del vicino o nel laghetto a 1000 km. Ma se consideriamo tutto, ma proprio tutto, quella quantità rimarrà immutata.

Sempre. Rifate il conto fra migliaia di anni e fatemi sapere.

La cosa concettualmente più difficile da accettare è che non stiamo parlando di pasta, acqua o monete. Stiamo parlando di un concetto astratto che le nostre limitate menti non riescono a visualizzare. Stiamo parlando del niente che governa le nostre vite e ci permette di essere qui.

Innanzi tutto dobbiamo stare attenti a considerare uno stesso sistema. Sempre lo stesso. La nostra quantità invisibile può abbandonare il sistema, un’altra parte potrebbe introdurvisi. Dobbiamo stare attenti a considerare i contributi esterni… altri,enti ci troviamo con il nostro scacco che si muovo sul tabellone del Monopoli… e gridiamo al miracolo.

Dobbiamo poi fare attenzione a scovarla. La nostra quantità, abbiamo detto, può assumere molteplici forme diverse e sta a noi riconoscere dove si è nascosta e fare del nostro meglio per considerala… se vogliamo effettivamente avere conferma che il nostro numero non è variato.

Stiamo parlando dell’energia. Sappiamo che si conserva, non sappiamo cosa sia. Abbiamo formule per calcolarla nelle sue diverse forme, abbiamo contezza di dove può nascondersi, non abbiamo idea della sua origine.

WU

PS. Un approccio volutamente “alla Feymann” (… magari) alla questione. e proprio in virtù di tale ambizione lasciatemi chiudere con una sua chiosa che mi ricorda che non voglio insegnare nulla a nessuno, ma semplicemente imparare.

Non vedevo a cosa servisse un sistema di autoriproduzione nel quale si superano esami per insegnare ad altri a superare esami, senza che nessuno impari mai niente. [R. Feymann]

Se volete una trattazione seria ed accademica sulla legge di conservazione dell’energia ne trovate a tonnellate in giro; anzi, scommetto che vi hanno già martellato con questo concetto… in forme decisamente meno accattivanti.

6174

Facciamo questo gioco:

  • Prendete un qualsiasi numero di quattro cifre, contenente almeno due cifre differenti (Se proprio vi serve potete anche inserire degli zeri anche all’inizio).
  • Ordinate le cifre in ordine decrescente e poi in ordine crescente così da ottenere due numeri di quattro cifre.
  • Sottraete il numero più piccolo da quello più grande.
  • Ripetere il processo partendo dal secondo punto.

Facciamo un esempio: 1785.

  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1578 e 8751. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 7173. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1377 e 7731. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6354. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 3456 e 6543. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 3087. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 0378 e 8730. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 8352. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 2358 e 8532. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6174. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1467 e 7641. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6174. Ripetiamo? No, aspetta.

Abbiamo ottenuto lo stesso numero da cui siamo partiti nell’ultima iterazione?!

Potete ora provare (e sono certo non vedete l’ora con un numero a caso), ma il risultato convergerà sempre, e dico sempre, al 6174. Questo numero, una volta raggiunto da se stesso. E’ la costante di Kaprekar.

La costante è il numero a cui tende il processo sopra descritto in al massimo 7 iterazioni (inserite gli zeri alla bisogna per mantenere il numero di quattro cifre). Gli unici numeri di quattro cifre che non convergono al 6174 sono quelli con cifra ripetuta (e.g. 1111).

E’ interessante notare anche che in ogni iterazione, i due numeri che vengono coinvolti nella sottrazione possiedono la stessa somma di cifre (d’altra parte possiedono proprio le stesse cifre solo in ordine diverso), cioè 9. Quindi il risultato di ogni iterazione dell’operazione di Kaprekar è sempre un multiplo di 9.

Chi se lo aspettava che un numero apparentemente anonimo come 6174 avesse questa fantastica proprietà. Si, ma… perché? Ulteriore conferma che non credo abbiamo ancora capito fino in fondo le vere proprietà dei numeri, figuriamoci della matematica.

WU (affascinato)

PS.

Se fate lo stesso gioco per un numero di tre cifre otterrete 495 come costante di Kaprekar, mentre non avrete nessun punto fisso (anzi, ve ne sono diversi e vi sono anche diverse possibilità che il processo vada in loop) per numeri di cinque cifre o superiori.

Per quelli di cinque cifre vi sono tre possibili loop con altrettanti punti fissi:

  • 71973→83952→74943→62964→71973
  • 75933→63954→61974→82962→75933
  • 59994→53955→59994

Ma la cosa forse più strana è che tale costante non esiste neanche per i numeri di due cifre! Cosa avranno di speciale i numeri di tre e quattro cifre?