Categoria: math

Generatore lineare congruenziale

La matematica è per sua natura abbastanza ordinata, abbastanza ripetitiva ed abbastanza prevedibile. Certo, abbastanza.

In un mondo come questo è quindi non proprio banalissimo avere la generazione di numeri che siano veramente, ma veramente casuali. Ci si accontenta spesso di numeri pseudo-casuali (ovvero numeri generati da un algoritmo che pur essendo deterministico produce una sequenza che ha circa le stesse proprietà statistiche di una sequenza casuale) tipicamente perché il vero caso non serve poi a molto ed è computazionalmente difficile da ottenere.

In altre parole esiste un’equazione “semplice” per ottenere una sequenza di numeri che sembra prodotta dal caso. L’algoritmo LCG (Linear Congruential Generator) è uno dei più vecchi, semplici e conosciuti algoritmi che ci danno l’impressione del caso.

L’algoritmo si basa su un modulo (m), un moltiplicatore (A) ed un incremento (C); uno dei valori della successione, il cui periodo è al più m, è quindi definito da:

Xn+1 = (A Xn + C) mod m

Inutile dire che la semplicità dell’equazione (ed il conseguente largo uso anche in algoritmi numerici) si paga in termini di bontà dei risultati; la scelta dei tre coefficienti diventa fondamentale (e potrebbe essere a sua volta il frutto di un generatore di numeri casuali 🙂 ).

Ed ora facciamo qualche prova:

LCG.png

Cose simpatiche:

  • il penultimo caso è l’algoritmo della Borland C/C++
  • se A ed m sono molto maggiori di C, i valori della successione si schiacciano su C
  • nel primo e secondo caso (ed in generale per ogni combinazione di fattori abbastanza semplice e lineare) la successione è tutt’altro che casuale
  • ovviamente più grandi sono (numericamente) i tre fattori e più l’aspetto casuale della faccenda viene fuori.

… pensateci la prossima volta che vi viene chiesto di dire un numero a caso.

WU

Centootto

  • 108: numero di cuciture della palla da baseball. Eredità dei segni impressi dalle dita di Manitù, Grande Spirito dei Pellerossa, su una sfera di argilla modellata per far divertire i piccoli della tribù.
  • 108: numero atomico dell’Hassio. Precedentemente noto come unniloctio e poi battezzato Hassio in onore dell’Assia, regione dove è situato l’istituto di ricerca che lo ha sintetizzato per la prima volta nel 1984
  • 108: numero parte della successione Tetranacci, ovvero la sequenza illimitata di interi in cui ogni termine è uguale alla somma dei quattro termini precedenti (Fibonacci solo dei due precedenti…): 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, …
  • 108: numero iperfattoriale di 3 (numero perfetto): 1^1 * 2^2 * 3^3 = 108. E’ anche un numero potente, ovvero può essere espresso come il prodotto di un quadrato per un cubo
  • 108: numero di Harshad, ovvero divisibile per la somma delle proprie cifre
  • 108: primo numero della terne pitagorica 108, 144, 180
  • 108: ampiezza di ogni angolo interno di un pentagono regolare nella geometria euclidea
  • 108: numero sacro di Iduismo, Buddhismo, Sikhismo e Giainismo
  • 108: numero di grani del Mala
  • 108: numero di grani del Juzu, del Mala e del Aksamala
  • 108: numero di nomi delle divinità induiste
  • 108: numero di sentieri che conducono a Dio e numero di linee di linee di energia che convergono al chakra del cuore
  • 108: numero di respiri giornalieri da fare per praticare la meditazione pranayamaed arrivare all’illuminazione.
  • 108: diametro massimo di Stonehenge in metri
    108: numero di Gopi (pastorelle) danzanti con Krishna nello Srimad Bhàgavatam
  • 108: numero di krana (mosse) della danza cosmica di Shiva Nataraja nello Shivaismo
  • 108: numero dei peccati nel Buddhismo tibetano
  • 108: numero di minuti della primo volo spaziale del primo cosmonauta della storia, Yuri Gagarin, attorno alla Terra
  • 108: numero delle stelle sacre nell’astrologia cinese
  • 108: nome dell’asteroide 108 Ecuba. Asteroide della Fascia principale orbitante all’interno della famiglia di asteroidi Igea
  • 108: rapporto fra la distanza tra la Terra e Sole ed il diametro del sole
  • 108: rapporto fra il diametro del Sole ed il diametro della Terra
  • 108: rapporto fra la distanza tra la Terra e la Luna ed il diametro della Luna
  • 108: numero di rintocchi della campana che festeggia il nuovo anno in Giappone
  • 108: numero delle tentazioni terrene mortali, delle bugie umane e dei deliri cui una persona deve resistere per raggiungere il Nirvana
  • 108: numero del più corto tra i Sura del Corano, Al-Kawthar (L’Abbondanza): “In verità ti abbiamo dato l’abbondanza; Esegui l’orazione per il tuo Signore e sacrifica!; In verità sarà colui che ti odia a non avere seguito”
  • 108: numero dei pretendenti di Penelope, moglie di Ulisse, nell’Odissea
  • 108: la tempistica di alcuni cicli dell’ordine segreto cristiano Rosacroce
  • 108: prodotto delle cifre dei giorni di un anno bisestile: 3 * 6 * 6 = 108
  • 108: numero che indossava il ciclista Wouter Weylandt durante la terza tappa del Giro d’Italia 2011. Il ciclista perse la vita in tale occasione e la direzione ritirò il numero

WU

PS. Come mi ci sono imbattuto? Oggi è il 12 Settembre. Chi non farebbe subito, poco prima del caffè tipicamente, 12*9?

Binary digit(s)

Una volta per tutte (ah ah ah):

  • byte e bit NON sono sinonimi
  • kilo è un prefisso che NON si riferisce solo al vostro peso

Prendiamo 8 bit (diciamo otto cifre, che possono essere solo 0 oppure 1) e facciamo un pacco regalo. Questo pacco regalo lo possiamo modificare per far felice la bellezza di 256 (2^8) bambini. Il più sfigato prenderà il pacco fatto di tutti 0, mentre il più fortunato (o il raccomandato di turno) quello fatto da tutti 1. Gli altri stanno nel mezzo.

Benissimo, abbiamo fatto un byte. Ma in fondo è un po poco come regalo. Allora ne mettiamo insieme 1024 per fare più bella figura. Perfetto, possiamo regalare un kilobyte.
Ora si da il caso che 1024=2^10. Quindi kilo identifica che l’esponente del 2 (… e dai, non mi fate fare lo sproloquione sul sistema binario…) è il 10. E se vi dico Mega? Beh, allora l’esponente del 2 è 20 (1.048.576 byte). E quindi Gigabyte e Terabyte? 2^30 (1.073.741.824 byte), 2^40 (1.099.511.627.776 byte), ovvio.

Ma. Ma. Ma.

Per comodità di calcolo ci facciamo un po’ di sconto. Abbiamo detto che un kilobyte è 1024 byte, giusto?! Ma 1024 è paurosamente vicino a 1000, che è 10^3 (ed infatti nel sistema decimale kilo è il prefisso che indica esattamente 1000) quindi ci confondiamo ben bene dicendo che in fondo un kilo/mega/giga byte è un po meno di quanto dovrebbe essere.

E via al marketing, dato che per la gioia dei produttori di hardware informatico quando ci convincono che stiamo comprando qualcosa che dovrebbe poter ospitare la bellezza di 1.099.511.627.776 byte, ne può ospitare solo 1.000.000.000.000 byte, ovvero circa il 9% meno.

E comunque se la cosa non fosse ancora chiara basta (oltre che vedere errori, orrori e cose ben fatte su Internet) fare riferimento qui ad XKCD.

XKCD160616.png

WU

PS. Se il vostro pc non lo sponsorizza in nessun modo (ed ha qualche anno) allora elabora un byte alla volta. Se, invece, lo scrive in lungo ed in largo che è a 64 bit allora vuol dire che può elaborare pacchetti da 8 bytes alla volta.

137,035999084

Voi non lo sapete (forse, ma di sicuro io non ne ero sufficientemente cosciente), ma se esistiamo è solo grazie a questo preciso, apparentemente casuale ed insignificante numero.

Il numero in questione è l’inverso (…di solito si da questo e non chiedetemi perché…) della costante di struttura fine. E che è? In due parole: l’accoppiamento tra le costanti fisiche che regolano le interazioni elettromagnetiche; la relazione elettrone-fotone.

Ora vi risparmio lo sbobbone matematico e la storia della sua scoperta (a parte dirvi che si chiama anche costante di Sommerfield dato che fu proprio il fisico tedesco ad introdurla nel 1916 per spiegare alcune deviazioni relativistiche del modello di Bohr) e, cerco, di arrivare al punto: La nostra vita, la nostra stessa esistenza è legata a 7.29735256e-7, con una precisione di 0,37 parti per miliardo.

La costante di struttura fine è una costante adimensionale, dato che è il quadrato della carica dell’elettrone diviso per la velocità della luce moltiplicato per la costante di Planck (… ed ecco un accenno allo sbobbone matematico, se fate i conti vi accorgete sia del valore sia del fatto che le unità di misura si cancellano…). E’ il rapporto tra la velocità della luce e quella di un elettrone che orbita intorno al nucleo dell’atomo d’idrogeno. Il numero governa il legame tra materia e luce, fra massa ed energia. E fra questi due estremi abbiamo.. 137 e spiccioli. Ovvio, no ?!?

Ma come se il valore non fosse già un enigma, questo suo essere adimensionale è un grave problema; è (o potrebbe essere) una testimonianza dell’incompletezza di tutto il nostro sistema teorico. Oltre a voler dire che ogni altra forma senziente che avesse fatto lo stesso calcolo altrove nell’universo avrebbe trovato esattamente lo stesso risultato.

Allora, se ho una costante dimensionale, quello che succede è che in base all’unità di misura che scelgo (una convenzione) posso avere un numero oppure un’altro (e.g. la velocità della luce è una costante, ma il valore esatto cambia: che so 300.000.000 metri/secondo oppure 1.020.400.000.000.000 pollici/giorno). Se invece mi ritrovo con una sequenza di numeri adimensionali allora c’è qualcosa di più profondo, allora ho toccato le basi della teoria, della struttura stessa della natura (pi greco, ad esempio è il rapporto fra una circonferenza ed il suo diametro che si parli di anni luce o di mm) oppure sto introducendo un fattore arbitrario nella teoria… per far tornare i conti.

In passato costanti adimensionali sono state di solito eliminate delle teorie fisiche mediante ampliamenti della teoria di cui facevano parte, ma per la costante di struttura fine non ci si è ancora riusciti. Questa sequenza di numeri è li da circa 100 anni che ci fissa, imperterrita (…ed ha coinvolto brillanti menti, Heisemberg e Pauli giusto per fare due nomi, che negli ultimi 50 anni hanno cercato di dare un senso a questo numero).

Eppure se non fosse per questo numero l’universo non sarebbe come lo conosciamo. Un valore della costante diverso anche solo del 10% causerebbe una variazione significativa nel rapporto fra forze attrattive e repulsive tra le particelle elementari con il risultato che la materia stessa non potrebbe esistere (così come la conosciamo) e noi con essa.

La capacità della materia di aggregarsi e di interagire a livello atomico è governata da un numero apparentemente insignificante e senza unità di misura. Se la costante fosse più grande non ci esisterebbe alcun atomo dato che gli elettroni sarebbero “risucchiati” dal nucleo, se invece essa fosse più piccola gli elettroni sarebbero troppo debolmente “legati” agli atomi per sopravvivere a lungo.

Il “numero magico” è alla base dell’elettrodinamica quantistica, teoria che descrivere molto accuratamente l’interazione luce-materia e predice con estrema precisione la relazione tra varie grandezze fondamentali. Se poi vogliamo lanciarci ancora più in là, la costante di struttura fine è anche alla base della teoria delle stringhe (che dovrebbe di per se essere appunto l’estensione della teoria che stiamo cercando) e con essa del concetto di multiverso. Ed ovviamente la costante è uno dei punti di forza del principio antropico.

Con 150,7395989924 io non sarei qui a scrivere cazzate, invece grazie a 137,035999084 posso farlo :). Ma tanto sono numeri, no?!? Eppure se il rapporto fra le costanti in gioco fosse stato 1, pi greco, il numero di nepero, il rapporto aureo o qualche altra cosa che ha già di per se un senso la cosa sarebbe stata meno sconvolgente. Invece: 137, nudo e crudo (… oltre ad essere numero primo, ma questa è un’altra storia…).

Devo rivedere la mia risposta universale alla vita, l’universo e tutto quanto. R. Feynman (di certo non uno qualunque) lo aveva già fatto:

Questo numero costituisce un vero rompicapo fin da quando fu scoperto, e tutti i migliori fisici teorici lo tengono incorniciato e appeso al muro e ogni giorno ci meditano su. Vi chiederete subito da dove venga questo valore: è connesso a p, o magari alla base dei logaritmi naturali? Nessuno lo sa. È uno dei più enigmatici enigmi della fisica, un numero magico che ci viene offerto nel mistero più assoluto. Si potrebbe quasi dire che a scrivere questo numero sia stata la «mano di Dio» e che noi «non sappiamo come Egli abbia mosso la sua matita». Sappiamo perfettamente che cosa fare sperimentalmente per avere una misura accuratissima di questo valore, ma non sappiamo che arzigogolo inventare per farlo venir fuori da un calcolatore, senza avercelo messo dentro di nascosto!

WU

PS. Ed aggiungiamo altra carne al fuoco. NON è detto che il valore della costante di struttura fine sia … costante nel tempo (mentre è confermato che sia costante nello spazio). Anzi, svariati studi, sempre più precisi, che prendono in considerazione diverse sorgenti spettrali del cosmo (e.g. quasar) paiono puntare verso una variazione del valore di questa costante nel tempo. E ciò, data la dipendenza della costante di struttura fine dalle principali costanti fisiche, sarebbe un indizio del fatto che le leggi fisiche variano nel tempo.

L’universo non è come era? E quando sarebbe diventato così? Perché? Grazie 137 per farmi porre questi interrogativi…

Cercasi area

Non sarebbe male avere far scomparire le cose (e/0 le persone) nel nulla. Io non ci sono mai riuscito (anche se sono un asso nel “sistemare” e poi non trovare), e men che meno con figure geometriche.

Se girovagate un po in rete vi imbattete in questo simpatico paradosso geometrico. Abbiamo un cuneo, lo scomponiamo in quattro tessere, ricomponiamo le tessere in altro modo e… manca un cubetto!

Eh? Cioè stiamo dicendo che cambiano l’ordine degli addendi di una somma cambia il risultato? Stiamo dicendo che la materia si distrugge? Stiamo dicendo che le due figure non hanno la stessa area? Che ci hanno fregato l’ARIA?

missingbox1.jpg

Ora il paradosso è bello, ma solo se poi ci si capisce qualcosa… Ancora una volta sono i nostri occhi, o meglio il nostro cervello ad ingannarci. Se contate i quadratini le due figure sembrano effettivamente uguali, ma… non sono triangoli!

*** attenzione, continuare a leggere rivelerà il giochino. Obbligatorio fare almeno un tentativo di spiegazione prima di proseguire ***

Quella che ci sembra un’ipotenusa è in realtà un angolo molto aperto. Cioè la sul lato più lungo (che in realtà sono due lati con un angolo prossimo a 180 gradi nel mezzo) è schiacciato il cubetto mancante che ad occhio non si vede. Praticamente l’area che manca non manca veramente (e certo!) è solo spalmata ben ben così che non sembra esserci.

missingbox2.gif

Del giochino esistno diverse varianti, ma in particolare una rappresentazione con un triangolo più piccolo (e con meno scomposizioni) rende meglio il concetto.La flessione “in fuori” (a sinistra) ed “in dentro” (a destra) del lato lungo (la finta ipotenusa) delimita esattamente l’area mancante.

missingbox3.jpg

Beh, mi viene in mente che per far scomparire le cose-persone è sufficiente fargli cambiare, anche di poco, forma. Cercherò di ricordarmene davanti alla prossima tribuna politica. Ah, diffidiamo dei nostri occhi!

WU

PS. Qui si da la paternità del gioco a Paul Curry, un prestigiatore di New York City che lo propose nel 1953. Sapete chi è il soggetto in questione? Quello che ha inventato il gioco di carte “Out of this world“!

Treccia parametrica

Torno (dopo qui) a sguazzare un po nelle forme parametriche. Questa volta mi impelago nelle trecce.

Quelle dei capelli di una bella mora mi attirano decisamente di più, ma le trovo meno alla mia portata. Quella di casearia natura quasi mi istigano ad eliminarle, e pertanto ne giovo per un troppo breve lasso di tempo. I fili, quelli si che sono durevoli e raggiungibili trecce, ma in fondo vuoi mettere la bellezza di disegnarne qualcuna, così a caso?

E quindi, forma parametrica abbastanza semplice, cioè… forse no.
Allora, prima definisco un parametro p(t):

p(t) =
{1 + cosnt1*Cos[t*const2])*Cos[t],
(1 + cosnt1*Cos[t*const2])*Sin[t],
cosnt1*Sin[t*const2]}

dove cosnt1 e cosnt2 sono due parametri (eh, eh, esagero!), Il primo mi dice quanto la mia treccia è diversa da un filo singolo, mentre il secondo mi dice quanto è schiacciata la mia treccia, ovvero se i vari fili sono più o meno inclinati. t è ovviamente la variabile (periodica) che fa si che la treccia sia un qualcosa di chiuso.

Una volta che ho p(t) ne faccio derivata prima (p’) e seconda (p”). Qui le ometto onde evitare che lo schermo del vostro pc/mac/cel/Iqualcosa sia irrimediabilmente colpito da voi stessi con un ascia.

Mi costruisco quindi (dot e cross sono i prodotti scalare e vettore rispettivamente):

A = p’/radice(p’^2)
B = p”*(p’dot p’) – p’*(p’dot p”)
C = B/radice(B^2)
D = A cross C

Quindi a questo punto una treccia è semplicemente:

treccia = p(t) + const3*(C*cos(theta)+D*sin(theta)

Dove const3 mi dice quanto sono ciccioni i fili della mia treccia e theta è la variabile che fa dei miei fili dei tubi…

Ora abbiamo tutto. Theta va da se che non può che essere tra 0 e 2pi, mentre il resto… boh.

Ho arbitrariamente deciso (dopo qualche sana prova) che const3 = 0.04*const2 così da far sembrare la mia treccia sempre bella piena anche quando faccio fare pochi giri ai fili. E così mi riduco di uno i miei paramatri liberi.

Con un po di prove veloci mi accorgo subito che const1 non può essere minore di 0 (praticamente un disco) e maggiore di 1 (la treccia diventa una specie di gomitolo di lana…). Nella immagine sotto tre casi più un po meno patologici con const1 = [0.2, 0,5, 0,8]

treccia1

A questo punto, per fare un po di elucubrazioni, fisso const1 = 0.3 e gioco con const2. Questa la prenda come 11/x e faccio variare x. Ah, la cosa mi porta automaticamente a definire l’intervallo di esistenza di t come [0 2*x*pi].

treccia2.png

Secondo me siamo al limite per una chiamata alla neuro, ma se avete ancora voglia di giocare con altri parametri sono convinto che la treccia riservi altre sorprese. Ecco sotto qualche esempio a caso (tanto per suscitare un po di curiosità).

treccia3

WU

CinquantaTre

Grazie a questo Whubble (di certo riferito ad altro, ma sufficiente ad ingannare una piccola mente come la mia) mi impelago in un po di numerologia da battaglia (e di basso livello) del 53.

Numero primo (il sedicesimo per l’esattezza) e numero primo di Sopie German (ovvero anche 2*53+1 è numero primo), numero primo di Eisenstein ed è anche la somma di 5 numeri primi consecutivi. Ancora è la somma di 2^2+7^2 (entrambi numeri primi). Affascinante! Ah, è anche l’ordine di grandezza del Gruppo Mostro (!?). Ancora più affascinante!

Non può essere scritto come somma delle cifre di un altro numero in base 10, pertanto è definito non-colombiano. In linguaggio esadecimale si scrive 35, quindi con le cifre invertite, come per suoi 4 multipli, che si dia il caso sono anche gli unici per cui vale ciò. Ecco, Whubble di vuole dire qualcosa di criptato in esadecimale?!Oppure vuole comunicare tramite il protocollo Asynchronous Transfer Mode (basato su pacchetti da 53 byte)?

Numero atomico dello Iodio (cioè serve dello Iodio per la tiroide di Whubble?). Boh, la parola iodio significa lilla, dal colore dei vapori dell’elemento, che si dia il caso essere anche il colore (secondo me) di Whubble.

Poi. L’art. 53 della costituzione recita:

Tutti sono tenuti a concorrere alle spese pubbliche in ragione della loro capacità contributiva. Il sistema tributario è informato a criteri di progressività.

E’ un caso? Ecco cosa voleva dire Whubble! Che tutti devono portare nastro adesivo (no, non devo parlare di evasione fiscale) in funzione delle loro possibilità…

Messier object 53 è un ammasso globulare nella costellazione della Chioma di Bernice. E’ uno degli ammassi (stimato di circa 150 anni luce di estensione lineare) più lontani da noi (anche se stimato in avvicinamento a circa 80 km/s) e pertanto ha una luminosità relativamente bassa che lo rendono abbastanza difficile da osservare.
53 è inoltre, il nome di una azienda che produce ” mobile tools for creation”, di una banca, di un progetto delle chiese valdesi, di una barca a vela, un cellulare (Archos, con display, ovviamente, da 5.3 pollici), di una galleria d’arte … e sicuramente di un sacco di altre cose (band, canzoni, novelle, etc. etc.).

Se vuoi chiamare a Cuba devi fare il 53 e se vuoi battere Herbie devi essere più veloce del 53.

E poi non ci dimentichiamo che LA Guida è “Più popolare del Manuale di economia domestica celeste, più venduto di “Altre 53 cose da fare a gravità zero” e più discusso della trilogia di bestseller filosofici di Oolon Colluphyd “Dove ha sbagliato Dio”, “Ancora alcuni tra i più grandi sbagli di Dio” e “Chi è questo Dio, in fin dei conti?”!

Molto probabilmente Whubble voleva solo ironizzare sui diversi modi di ricevere un “appunto”, ma tanto ci serviva solo una scusa per bighellonare con la mente…

WU

PS. Ma voi, invece, come la interpretate la striscia? Una specie di trasposizione gatto(e non catto)-moderna in chiave “esasperazione da ambiente di lavoro” dei gradi di separazione di Bart Simpson. Oppure è più una cosa tipo “la pazzia consiste nel fare sempre la stessa cosa e aspettarsi un risultato diverso”?

Idee migliori (e più sobrie e semplici)?