Categoria: math

1729

Era inverno e faceva freddo. Quel freddo londinese che ti entra nelle ossa. Nessuno aveva voglia di incamminarsi a piedi per le strade bagnate e grigie ed i taxi erano merce rara.

Godfrey Harold Hardy (…nome che, diciamocelo è proprio da romanzo noir…) ne cercava disperatamente uno. Ne cercava, magari, anche uno che potesse avere un bel numero, un numero con un qualche significato. Si, lui, matematico di professione e di vocazione, ci badava molto a queste cose.

Ma non era il giorno giusto per coccolare le sue fisse da matematico. Il tempo era inclemente e doveva assolutamente raggiungere l’ospedale. Li, infatti, il suo caro amico Srinivasa lo aspettava.

Srinivasa, matematico, e cultore della matematica, anche lui era costretto in quel letto da parecchio tempo per via delle sue cagionevoli, ed in continuo peggioramento, condizioni di salute. Le visite di Hardy erano, fra le poche che riceveva, quelle che gli facevano più piacere. I due potevano infatti interloquire amabilmente sui temi matematici più disparati alleviando la sofferenza della degenza di Srinivasa e stando ben alla larga da futili e vacui discorsi.

Quando finalmente Hardy arrivò in ospedale era tardi e mezzo bagnato si presentò al capezzale dell’amico raccontandogli la difficoltà di reperire un taxi in quella giornata ed il suo rammarico a dover essersi adattato a prendere il primo che passasse, senza neanche aver potuto scegliere i numero. E che tristezza, aggiunse Godfrey, nel costatare che il numero del taxi che aveva appena preso non aveva nessun interesse matematico: 1729.

Senza nessuna esitazione, dal candido letto in cui giaceva da giorni Srinivasa lo interruppe subito: “No Hardy, è un numero estremamente interessante: è il minimo intero che si può esprimere come somma di due cubi in due modi diversi!”

Hardy restò immobile e senza parole. Matematico non certo di secondo piano aveva passato tutto il tragitto in taxi a cercare di dare un senso a quel maledetto numero senza trovarlo; Srinivasa, invece, aveva immediatamente identificato il senso di quel numero.

Di li a poco Srinivasa sarebbe morto, ma il 1729 fu da quel giorno in poi battezzato numero di Hardy-Ramanujan e gettò le basi dei numeri Taxicab, nome scelto ovviamente non casualmente.

WU

PS. Cambiano registro narrativo (ammesso che il mio romanzamento precedente possa essere definito un “registro”…): 1729 è il più piccolo numero che possa essere espresso come la somma di due cubi positivi in due modi differenti.

Generalizzando 1729 è il più piccolo numero che si può rappresentare in n modi diversi come somma di due cubi positivi.

Ovvero 1729 è il più piccolo numero Taxicab. Hardy (assieme ad E.M. Wright), evidentemente molto segnato dall’episodio, ha poi dimostrato che esiste un Taxicab per ogni valore di n. La cosa però non aiuta a trovarne i valori.

Ad oggi gli unici Taxicab conosciuti sono cinque, precisamente quelli per n<6. Ta(2) = 1729 (geniale intuizione…); Ta(3)= 87539319 (che ci da subito una rapida idea di quanto possano essere maledettamente grandi i numeri Taxicab… contrariamente al numero dei taxi in circolazione quando uno li cerca…).

PPSS. I numeri Taxicab fanno il paio con i numeri Cabtaxi che ne sono sostanzialmente una generalizzazione (… quante derivazioni da una geniale intuizione di una mente superiore, sulla quale conto di ritornarci, in un letto d’ospedale…).

I numeri Cabtaxi sono infatti i più piccoli interi positivi che possono essere espressi in n modi come somma di due cubi positivi o negativi o pari a 0. I numeri Cabtaxi ad oggi conosciuti sono quelli fino ad n=10. Cabtaxi(1) = 1 (ovviamente) e Cabtaxi(2)=91 (enjoy).

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The Euler line

Ortocentro (punto di incontro delle altezze), baricentro (punto di incontro delle mediane) e circocentro (incontro degli assi dei lati) di un triangolo non sono parolacce. Per alcuni sono parole sanscrite, per altri reminiscenze dei tempi della scuola, per pochissimi punti geometrici con un significato. Direi che per nessuno sono punti familiari nel disegno di un cerchio o di un triangolo.

Ad ogni modo, a parte il loro significato geometrico è affascinante (e non lo scopro di certo io) vedere come questi punti, che parrebbero avere un significato abbastanza arbitrario, in realtà si dispongono docilmente su una unica retta: la retta di Eulero:

“Start with any triangle, draw the smallest circle that contains the triangle and find its center. Find the center of mass of the triangle — the point where the triangle, if cut out of a piece of paper, would balance on a pin. Draw the three altitudes of the triangle (the lines from each corner perpendicular to the opposite side), and find the point where they all meet. The theorem is that all three of the points you just found always lie on a single straight line, called the ‘Euler line’ of the triangle.”

EulerLine.png

E non è tutto; il baricentro divide anche il segmento che unisce ortocentro e circocentro in due parti che sono (lo si dimostra, non lo si intuisce) l’una il doppio dell’altra.

Vogliamo continuare? Il centro della circonferenza che passa per i tre punti medi dei lati del triangolo (il così detto cerchio di Feuerbach) indovinate dove si colloca? Giace esattamente sulla solita retta di Eulero, e divide anche a metà il segmento che va dall’ortocentro al circocentro.

E poi venitemi a dire che non c’è una bellezza intrinseca in questa faccenda della matematica (ed in questo caso della geometria) che nasconde sorprese anche in concetti assolutamente astratti ed apparentemente scorrelati. A volte mi viene il dubbio che dobbiamo ancora scoprire bene cosa c’è sotto.

WU

Generi numerici

… e non numeri generici.

Sono un fermo sostenitore che abbiamo bisogno delle nostre piccole certezze per sentirci tranquilli. Per trovare il nostro posto nel mondo abbiamo bisogno che il mondo, come lo conosciamo noi, sia quello. Abbiamo bisogno di dei punti di riferimento, di sapere che sole sorgerà di nuovo, che dopo il 1238764781 viene il 1238764782.

Ed abbiamo bisogno di sapere di che sesso siano le figure e le cose che ci circondano. Indipendentemente da tutto, abbiamo bisogno di sapere se stiamo parlando di/con un uomo o una donna. O meglio maschio o femmina.

Gendered information plays a prominent role in how people interpret both the physical and social environments in which they live. Research has shown that individuals begin to acquire information about gender as early as 6 months of age, when infants start to distinguish males and females

Ed a questo diktat nulla fa eccezione (si, ci sarebbe il neutro in qualche lingua, ma è una generalizzazione dei due casi di cui sopra), compresi i numeri. Ma di che sesso sono i numeri?

Diciamo che la risposta a questa domanda rientra nel campo del genere percepito delle cose; ovvero quella parte del nostro inconscio che ha, come dicevamo prima, bisogno di sapere se parliamo di maschi/femmine indipendentemente dalla nostra lingua/età/cultura/religione/istruzione/etc.

Beh, si da il caso che questo studio (in realtà un insieme di due campagne “sperimentali” su 315 soggetti) ha proprio cercato di dettagliare questo fenomeno arrivando alla conclusione (se di conclusione si può parlare) che:

odd numbers seemed masculine while even numbers seemed feminine

“Sicuramente” per i numeri ad una cifra. Per quelli a due cifre è tendenzialmente ancora vero anche se:

men viewed 2-digit numbers as relatively masculine, regardless of whether they were even or odd

NumGender.png

Altro risultato interessante dello studio (ma come dicevamo qui non lo scopo principale ed in questo caso, non essendo possibile che lo studio desse risultati negativi, non è stato spacciato per lo scopo primario) è che:

Although both men and women showed this pattern, it was more pronounced among women

Dal mio punto di vista credo che (ovviamente!) mi condizioni molto il contesto in cui sento (o meglio inconsciamente associo il pensiero) i numeri: 1 mi sembra maschile se è un tavolo e femminile se è 1 mela. Se penso alla pura sequenza numerica tenderei a dire che i numeri sono tutti femminili, che è un genere che associo inconsciamente alle cose astratte (o neutri, al limite, ma questa credo sia una sovrastruttura).

WU

Generatore lineare congruenziale

La matematica è per sua natura abbastanza ordinata, abbastanza ripetitiva ed abbastanza prevedibile. Certo, abbastanza.

In un mondo come questo è quindi non proprio banalissimo avere la generazione di numeri che siano veramente, ma veramente casuali. Ci si accontenta spesso di numeri pseudo-casuali (ovvero numeri generati da un algoritmo che pur essendo deterministico produce una sequenza che ha circa le stesse proprietà statistiche di una sequenza casuale) tipicamente perché il vero caso non serve poi a molto ed è computazionalmente difficile da ottenere.

In altre parole esiste un’equazione “semplice” per ottenere una sequenza di numeri che sembra prodotta dal caso. L’algoritmo LCG (Linear Congruential Generator) è uno dei più vecchi, semplici e conosciuti algoritmi che ci danno l’impressione del caso.

L’algoritmo si basa su un modulo (m), un moltiplicatore (A) ed un incremento (C); uno dei valori della successione, il cui periodo è al più m, è quindi definito da:

Xn+1 = (A Xn + C) mod m

Inutile dire che la semplicità dell’equazione (ed il conseguente largo uso anche in algoritmi numerici) si paga in termini di bontà dei risultati; la scelta dei tre coefficienti diventa fondamentale (e potrebbe essere a sua volta il frutto di un generatore di numeri casuali 🙂 ).

Ed ora facciamo qualche prova:

LCG.png

Cose simpatiche:

  • il penultimo caso è l’algoritmo della Borland C/C++
  • se A ed m sono molto maggiori di C, i valori della successione si schiacciano su C
  • nel primo e secondo caso (ed in generale per ogni combinazione di fattori abbastanza semplice e lineare) la successione è tutt’altro che casuale
  • ovviamente più grandi sono (numericamente) i tre fattori e più l’aspetto casuale della faccenda viene fuori.

… pensateci la prossima volta che vi viene chiesto di dire un numero a caso.

WU

Centootto

  • 108: numero di cuciture della palla da baseball. Eredità dei segni impressi dalle dita di Manitù, Grande Spirito dei Pellerossa, su una sfera di argilla modellata per far divertire i piccoli della tribù.
  • 108: numero atomico dell’Hassio. Precedentemente noto come unniloctio e poi battezzato Hassio in onore dell’Assia, regione dove è situato l’istituto di ricerca che lo ha sintetizzato per la prima volta nel 1984
  • 108: numero parte della successione Tetranacci, ovvero la sequenza illimitata di interi in cui ogni termine è uguale alla somma dei quattro termini precedenti (Fibonacci solo dei due precedenti…): 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, …
  • 108: numero iperfattoriale di 3 (numero perfetto): 1^1 * 2^2 * 3^3 = 108. E’ anche un numero potente, ovvero può essere espresso come il prodotto di un quadrato per un cubo
  • 108: numero di Harshad, ovvero divisibile per la somma delle proprie cifre
  • 108: primo numero della terne pitagorica 108, 144, 180
  • 108: ampiezza di ogni angolo interno di un pentagono regolare nella geometria euclidea
  • 108: numero sacro di Iduismo, Buddhismo, Sikhismo e Giainismo
  • 108: numero di grani del Mala
  • 108: numero di grani del Juzu, del Mala e del Aksamala
  • 108: numero di nomi delle divinità induiste
  • 108: numero di sentieri che conducono a Dio e numero di linee di linee di energia che convergono al chakra del cuore
  • 108: numero di respiri giornalieri da fare per praticare la meditazione pranayamaed arrivare all’illuminazione.
  • 108: diametro massimo di Stonehenge in metri
    108: numero di Gopi (pastorelle) danzanti con Krishna nello Srimad Bhàgavatam
  • 108: numero di krana (mosse) della danza cosmica di Shiva Nataraja nello Shivaismo
  • 108: numero dei peccati nel Buddhismo tibetano
  • 108: numero di minuti della primo volo spaziale del primo cosmonauta della storia, Yuri Gagarin, attorno alla Terra
  • 108: numero delle stelle sacre nell’astrologia cinese
  • 108: nome dell’asteroide 108 Ecuba. Asteroide della Fascia principale orbitante all’interno della famiglia di asteroidi Igea
  • 108: rapporto fra la distanza tra la Terra e Sole ed il diametro del sole
  • 108: rapporto fra il diametro del Sole ed il diametro della Terra
  • 108: rapporto fra la distanza tra la Terra e la Luna ed il diametro della Luna
  • 108: numero di rintocchi della campana che festeggia il nuovo anno in Giappone
  • 108: numero delle tentazioni terrene mortali, delle bugie umane e dei deliri cui una persona deve resistere per raggiungere il Nirvana
  • 108: numero del più corto tra i Sura del Corano, Al-Kawthar (L’Abbondanza): “In verità ti abbiamo dato l’abbondanza; Esegui l’orazione per il tuo Signore e sacrifica!; In verità sarà colui che ti odia a non avere seguito”
  • 108: numero dei pretendenti di Penelope, moglie di Ulisse, nell’Odissea
  • 108: la tempistica di alcuni cicli dell’ordine segreto cristiano Rosacroce
  • 108: prodotto delle cifre dei giorni di un anno bisestile: 3 * 6 * 6 = 108
  • 108: numero che indossava il ciclista Wouter Weylandt durante la terza tappa del Giro d’Italia 2011. Il ciclista perse la vita in tale occasione e la direzione ritirò il numero

WU

PS. Come mi ci sono imbattuto? Oggi è il 12 Settembre. Chi non farebbe subito, poco prima del caffè tipicamente, 12*9?

Binary digit(s)

Una volta per tutte (ah ah ah):

  • byte e bit NON sono sinonimi
  • kilo è un prefisso che NON si riferisce solo al vostro peso

Prendiamo 8 bit (diciamo otto cifre, che possono essere solo 0 oppure 1) e facciamo un pacco regalo. Questo pacco regalo lo possiamo modificare per far felice la bellezza di 256 (2^8) bambini. Il più sfigato prenderà il pacco fatto di tutti 0, mentre il più fortunato (o il raccomandato di turno) quello fatto da tutti 1. Gli altri stanno nel mezzo.

Benissimo, abbiamo fatto un byte. Ma in fondo è un po poco come regalo. Allora ne mettiamo insieme 1024 per fare più bella figura. Perfetto, possiamo regalare un kilobyte.
Ora si da il caso che 1024=2^10. Quindi kilo identifica che l’esponente del 2 (… e dai, non mi fate fare lo sproloquione sul sistema binario…) è il 10. E se vi dico Mega? Beh, allora l’esponente del 2 è 20 (1.048.576 byte). E quindi Gigabyte e Terabyte? 2^30 (1.073.741.824 byte), 2^40 (1.099.511.627.776 byte), ovvio.

Ma. Ma. Ma.

Per comodità di calcolo ci facciamo un po’ di sconto. Abbiamo detto che un kilobyte è 1024 byte, giusto?! Ma 1024 è paurosamente vicino a 1000, che è 10^3 (ed infatti nel sistema decimale kilo è il prefisso che indica esattamente 1000) quindi ci confondiamo ben bene dicendo che in fondo un kilo/mega/giga byte è un po meno di quanto dovrebbe essere.

E via al marketing, dato che per la gioia dei produttori di hardware informatico quando ci convincono che stiamo comprando qualcosa che dovrebbe poter ospitare la bellezza di 1.099.511.627.776 byte, ne può ospitare solo 1.000.000.000.000 byte, ovvero circa il 9% meno.

E comunque se la cosa non fosse ancora chiara basta (oltre che vedere errori, orrori e cose ben fatte su Internet) fare riferimento qui ad XKCD.

XKCD160616.png

WU

PS. Se il vostro pc non lo sponsorizza in nessun modo (ed ha qualche anno) allora elabora un byte alla volta. Se, invece, lo scrive in lungo ed in largo che è a 64 bit allora vuol dire che può elaborare pacchetti da 8 bytes alla volta.

137,035999084

Voi non lo sapete (forse, ma di sicuro io non ne ero sufficientemente cosciente), ma se esistiamo è solo grazie a questo preciso, apparentemente casuale ed insignificante numero.

Il numero in questione è l’inverso (…di solito si da questo e non chiedetemi perché…) della costante di struttura fine. E che è? In due parole: l’accoppiamento tra le costanti fisiche che regolano le interazioni elettromagnetiche; la relazione elettrone-fotone.

Ora vi risparmio lo sbobbone matematico e la storia della sua scoperta (a parte dirvi che si chiama anche costante di Sommerfield dato che fu proprio il fisico tedesco ad introdurla nel 1916 per spiegare alcune deviazioni relativistiche del modello di Bohr) e, cerco, di arrivare al punto: La nostra vita, la nostra stessa esistenza è legata a 7.29735256e-7, con una precisione di 0,37 parti per miliardo.

La costante di struttura fine è una costante adimensionale, dato che è il quadrato della carica dell’elettrone diviso per la velocità della luce moltiplicato per la costante di Planck (… ed ecco un accenno allo sbobbone matematico, se fate i conti vi accorgete sia del valore sia del fatto che le unità di misura si cancellano…). E’ il rapporto tra la velocità della luce e quella di un elettrone che orbita intorno al nucleo dell’atomo d’idrogeno. Il numero governa il legame tra materia e luce, fra massa ed energia. E fra questi due estremi abbiamo.. 137 e spiccioli. Ovvio, no ?!?

Ma come se il valore non fosse già un enigma, questo suo essere adimensionale è un grave problema; è (o potrebbe essere) una testimonianza dell’incompletezza di tutto il nostro sistema teorico. Oltre a voler dire che ogni altra forma senziente che avesse fatto lo stesso calcolo altrove nell’universo avrebbe trovato esattamente lo stesso risultato.

Allora, se ho una costante dimensionale, quello che succede è che in base all’unità di misura che scelgo (una convenzione) posso avere un numero oppure un’altro (e.g. la velocità della luce è una costante, ma il valore esatto cambia: che so 300.000.000 metri/secondo oppure 1.020.400.000.000.000 pollici/giorno). Se invece mi ritrovo con una sequenza di numeri adimensionali allora c’è qualcosa di più profondo, allora ho toccato le basi della teoria, della struttura stessa della natura (pi greco, ad esempio è il rapporto fra una circonferenza ed il suo diametro che si parli di anni luce o di mm) oppure sto introducendo un fattore arbitrario nella teoria… per far tornare i conti.

In passato costanti adimensionali sono state di solito eliminate delle teorie fisiche mediante ampliamenti della teoria di cui facevano parte, ma per la costante di struttura fine non ci si è ancora riusciti. Questa sequenza di numeri è li da circa 100 anni che ci fissa, imperterrita (…ed ha coinvolto brillanti menti, Heisemberg e Pauli giusto per fare due nomi, che negli ultimi 50 anni hanno cercato di dare un senso a questo numero).

Eppure se non fosse per questo numero l’universo non sarebbe come lo conosciamo. Un valore della costante diverso anche solo del 10% causerebbe una variazione significativa nel rapporto fra forze attrattive e repulsive tra le particelle elementari con il risultato che la materia stessa non potrebbe esistere (così come la conosciamo) e noi con essa.

La capacità della materia di aggregarsi e di interagire a livello atomico è governata da un numero apparentemente insignificante e senza unità di misura. Se la costante fosse più grande non ci esisterebbe alcun atomo dato che gli elettroni sarebbero “risucchiati” dal nucleo, se invece essa fosse più piccola gli elettroni sarebbero troppo debolmente “legati” agli atomi per sopravvivere a lungo.

Il “numero magico” è alla base dell’elettrodinamica quantistica, teoria che descrivere molto accuratamente l’interazione luce-materia e predice con estrema precisione la relazione tra varie grandezze fondamentali. Se poi vogliamo lanciarci ancora più in là, la costante di struttura fine è anche alla base della teoria delle stringhe (che dovrebbe di per se essere appunto l’estensione della teoria che stiamo cercando) e con essa del concetto di multiverso. Ed ovviamente la costante è uno dei punti di forza del principio antropico.

Con 150,7395989924 io non sarei qui a scrivere cazzate, invece grazie a 137,035999084 posso farlo :). Ma tanto sono numeri, no?!? Eppure se il rapporto fra le costanti in gioco fosse stato 1, pi greco, il numero di nepero, il rapporto aureo o qualche altra cosa che ha già di per se un senso la cosa sarebbe stata meno sconvolgente. Invece: 137, nudo e crudo (… oltre ad essere numero primo, ma questa è un’altra storia…).

Devo rivedere la mia risposta universale alla vita, l’universo e tutto quanto. R. Feynman (di certo non uno qualunque) lo aveva già fatto:

Questo numero costituisce un vero rompicapo fin da quando fu scoperto, e tutti i migliori fisici teorici lo tengono incorniciato e appeso al muro e ogni giorno ci meditano su. Vi chiederete subito da dove venga questo valore: è connesso a p, o magari alla base dei logaritmi naturali? Nessuno lo sa. È uno dei più enigmatici enigmi della fisica, un numero magico che ci viene offerto nel mistero più assoluto. Si potrebbe quasi dire che a scrivere questo numero sia stata la «mano di Dio» e che noi «non sappiamo come Egli abbia mosso la sua matita». Sappiamo perfettamente che cosa fare sperimentalmente per avere una misura accuratissima di questo valore, ma non sappiamo che arzigogolo inventare per farlo venir fuori da un calcolatore, senza avercelo messo dentro di nascosto!

WU

PS. Ed aggiungiamo altra carne al fuoco. NON è detto che il valore della costante di struttura fine sia … costante nel tempo (mentre è confermato che sia costante nello spazio). Anzi, svariati studi, sempre più precisi, che prendono in considerazione diverse sorgenti spettrali del cosmo (e.g. quasar) paiono puntare verso una variazione del valore di questa costante nel tempo. E ciò, data la dipendenza della costante di struttura fine dalle principali costanti fisiche, sarebbe un indizio del fatto che le leggi fisiche variano nel tempo.

L’universo non è come era? E quando sarebbe diventato così? Perché? Grazie 137 per farmi porre questi interrogativi…