Categoria: math

Collatz che tende ad 1

Altro giochino matematico (questo ve lo ricordate?)… prima di dirvi che rimane una delle congetture più inafferrabili della matematica.

Prendiamo un numero a caso, intero e maggiore di 1. Se il numero è pari dividiamo per due, mentre se è dispari moltiplichiamo per tre ed aggiungiamo uno. Algebricamente facciamo:

collatz1.png

Mi sembra abbastanza semplice, proviamo con 11. Tanto per tirare un numero a caso…

Prendiamo il numero risultante e riapplichiamo la regola. Che succede secondo voi?

Allora:

  • 11 è dispari, quindi faccio: 11*3+1 = 34
  • 34 è pari, quindi faccio: 34/2 = 17
  • 17 è dispari, quindi faccio: 17*3+1 = 52
  • 52 è pari, qundi faccio: 52/2 = 26

Avete l’impressione che stiamo divergendo? Che stiamo ottenendo numeri a caso? Ottimo, continuiamo.

  • 26 è pari, quindi faccio: 26/2 = 13
  • 12 è dispari, quindi faccio: 12*3+1 = 40
  • 40 è pari, quindi faccio: 40/2 = 20
  • 20 è pari, quindi faccio: 20/2 = 10
  • 10 è pari, quindi faccio: 10/2 = 5
  • 5 è dispari, quindi faccio: 5*3+1 = 16
  • 16 è pari, quindi faccio: 16/2 = 8
  • 8 è pari, quindi faccio: 8/2 = 4
  • 4 è pari, quindi faccio: 4/2 = 2
  • 2 è pari, quindi faccio: 2/2 = 1

Il fatto che abbia raggiunto 1 è un caso? Che succede se applica l’algoritmo ad 1?

  • 1 è dispari, quindi faccio: 1*3+1 = 4
  • 4 è pari, quindi faccio: 4/2 = 2
  • 2 è pari, quindi faccio: 2/2 = 1

torno ad 1. Effettivamente in alcuni enunciati dell’algoritmo si pone anche come condizione di stop quando la serie raggiunge 1.

Ora la domanda, da molti milioni di dollaroni, è, ma si raggiunge sempre 1 o esiste qualche numero (magari con qualche decina di cifre, tanto per essere ultra-difficile da scovare…) per cui ciò non è vero? Beh, la risposta è, come nelle migliori tradizioni, non lo sappiamo.

Esatto, siamo di fronte alla congettura di Colaltz.

Non esiste una dimostrazione matematica che si finisce sempre con l’ottenere 1 (che come abbiamo visto ritorna ad uno nel giro di tre iterazioni), ma è stata provata numericamente (al pc, per intenderci) fino a circa 1 x 10^20… un numero decisamente grande da lasciare qualche dubbio che il primo contro-esempio possa essere ancora maggiore…

Inoltre, un po’ ad occhio, l’algoritmo dimezzando i numeri pari e facendo *3+1 con i dispari aumenta solo i dispari di un fattore circa 3/4, quindi vi sono buone speranze che questi decrescano verso 1.

Per farla breve: ci crediamo tanto ed effettivamente abbiamo buone ragioni per farlo, ma dimostrare matematicamente che sappiamo come finisce questo giochino in tutti i casi possibili ed immaginabili non è alla nostra portata.

La matematica non è ancora pronta per problemi di questo tipo [Paul Erdős, matematico, circa questa congettura]

WU

PS. Sotto un po di fury computations (si, ho fatto uno stupido foglio excel fare giocare… peto venia) con tre esempi dell’andamento dei valori per 11, 367 ed 888.
L’andamento ed i valori raggiunti dalla successione variano sostanzialmente, ma il destino unitario rimane lo stesso.

collatz2.png

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6174

Facciamo questo gioco:

  • Prendete un qualsiasi numero di quattro cifre, contenente almeno due cifre differenti (Se proprio vi serve potete anche inserire degli zeri anche all’inizio).
  • Ordinate le cifre in ordine decrescente e poi in ordine crescente così da ottenere due numeri di quattro cifre.
  • Sottraete il numero più piccolo da quello più grande.
  • Ripetere il processo partendo dal secondo punto.

Facciamo un esempio: 1785.

  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1578 e 8751. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 7173. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1377 e 7731. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6354. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 3456 e 6543. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 3087. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 0378 e 8730. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 8352. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 2358 e 8532. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6174. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1467 e 7641. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6174. Ripetiamo? No, aspetta.

Abbiamo ottenuto lo stesso numero da cui siamo partiti nell’ultima iterazione?!

Potete ora provare (e sono certo non vedete l’ora con un numero a caso), ma il risultato convergerà sempre, e dico sempre, al 6174. Questo numero, una volta raggiunto da se stesso. E’ la costante di Kaprekar.

La costante è il numero a cui tende il processo sopra descritto in al massimo 7 iterazioni (inserite gli zeri alla bisogna per mantenere il numero di quattro cifre). Gli unici numeri di quattro cifre che non convergono al 6174 sono quelli con cifra ripetuta (e.g. 1111).

E’ interessante notare anche che in ogni iterazione, i due numeri che vengono coinvolti nella sottrazione possiedono la stessa somma di cifre (d’altra parte possiedono proprio le stesse cifre solo in ordine diverso), cioè 9. Quindi il risultato di ogni iterazione dell’operazione di Kaprekar è sempre un multiplo di 9.

Chi se lo aspettava che un numero apparentemente anonimo come 6174 avesse questa fantastica proprietà. Si, ma… perché? Ulteriore conferma che non credo abbiamo ancora capito fino in fondo le vere proprietà dei numeri, figuriamoci della matematica.

WU (affascinato)

PS.

Se fate lo stesso gioco per un numero di tre cifre otterrete 495 come costante di Kaprekar, mentre non avrete nessun punto fisso (anzi, ve ne sono diversi e vi sono anche diverse possibilità che il processo vada in loop) per numeri di cinque cifre o superiori.

Per quelli di cinque cifre vi sono tre possibili loop con altrettanti punti fissi:

  • 71973→83952→74943→62964→71973
  • 75933→63954→61974→82962→75933
  • 59994→53955→59994

Ma la cosa forse più strana è che tale costante non esiste neanche per i numeri di due cifre! Cosa avranno di speciale i numeri di tre e quattro cifre?

Il Quadrato Diabolico

Panmagico
Ultramagico
Diabolico
Pandiagonale

… più che altro mi sono soffermato sul perché diabolico e non divino…

Stiamo parlando di una sorta di “matematica ricreativa” (potrei sproloquiare a iosa su quest’accoppiata ma ve lo risparmio). Giochiamo a mettere una serie di numeri in una matrice.

E già qui qualcuno potrebbe pensare al Sudoku, altri allo psichiatra. Ad ogni modo esistono molti quadrati magici in cui la somma dei numeri che disponiamo sulle righe è uguale alla somma delle colonne o delle diagonali (e varianti sul tema ve ne sono in quantità).

Matematicamente si definisce Quadrato Magico uno schema numerico in forma di matrice NxN, in cui la somma dei numeri su ciascuna riga, colonna ed ogni diagonale dà sempre lo stesso valore. Si dimostra (ve lo risparmio anche se è abbastanza intuitivo) che non esiste un quadrato magico di ordine 2, che ne esiste uno solo di ordine 3 (che può ovviamente essere riflesso e ruotato) mentre ne esistono molteplici (tantissimi) degli ordini successivi.

Tuttavia, a Nasik, in India, è stato scoperto un quadrato magico 4×4 che è qualcosa di più… è diabolico (ma perché?!). Ovvero in questo quadrato non solo tutte le righe e le colonne sommate danno lo stesso numero, ma a che le diagonali e le diagonali ridotte, i quadrati minori, i quattro angoli, i quattro numeri nel centro, i due numeri centrali della prima e dell’ultima riga, i due numeri centrali della prima ed ultima colonna e via dicendo.

In breve, vi sono 86 modi diversi per ottenere lo stesso numero: 34!

MagicSquare.png

WU
PS. Il più piccolo dei quadrati magici è quello di ordine 3×3, detto anche Quadrato Magico di Saturno. La costante è 15! (E’ ovviamente quello a destra nell’immagine sopra)

PPSS. Poi, passando dalla “matematica ricreativa” a matematica leggermente più seria, vi sono teoremi ed algoritmi per costruire quadrati magici quasi di orni ordine, con relative generalizzazioni (quadrato bi-magico, quadrato magico di primi, etc.).

Costante di Eulero-Mascheroni

Il limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale è un numero. Possiamo non capire nulla di teoria dei numeri, analisi matematica o amenità simili, ma è affascinante quanto meno sapere che la differenza fra due cose astratte e tendenzialmente infinite è un numero.

CostanteEM.png

Più precisamente è il numero γ.

γ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495

Non sappiamo ancora (uno dei tanti misteri nascosti nei numeri che maneggiamo quotidianamente) se tale costante è un numero razionale (praticamente ha un numero finito di decimali) o irrazionale (hai voglia a continuare a scrivere numeri dopo la virgola), ma sappiamo che se fosse razionale dovrebbe avere più di 10^242080 cifre!!

Si dice che Hardy abbia addirittura offerto la sua cattedra a Oxford a chi fosse stato in grado di dimostrare l’irrazionalità della costante di Eulero-Mascheroni. Hilbert considerò questo problema come “inaffrontabile”, etichettandolo come un problema dinanzi al quale i “Veri Matematici” non sanno come muoversi… e se ne stanno lì sconsolati.

La costante può svilupparsi in diverse serie (che vi risparmio) ed integrali (dai quali vi sollevo), è legata all’integrale esponenziale (che rimandiamo alla prossima volta), a funzioni gamma e digamma (che blandamente capisco) ed è alla base della funzione Z di Riemann (…magari….) che è a sua volta uno dei presupposti della teoria dei numeri e dei numeri primi. Già il fatto di fornirne approssimazioni più o meno accurate è un campo di ricerca della matematica.

Sempre toccando la cosa da “fruitore”, ovvero da ominide che cerca (vanamente) di imparare e solo nei suoi sogni più reconditi si immagina di poter avanzare la conoscenza a riguardo, rimango sempre impelagato nel provare a replicare qualcuno di questi passaggi matematici e “scoprire” la regolarità ed a tratti la rassicurazione che da sapere di giocare con l’infinito per avere un numero costante che, almeno in una certa approssimazione, so anche scrivere.

0.577; numero forse troppo sottovalutato dai non addetti ai lavori (possiamo candidare il 22.06 come giorno della suddetta costante (potrebbero essere alcune cifre dei decimali che ancora non conosciamo 🙂 )?

WU

PS. Ed il fatto che non è una costante che pare avere un equivalente “banale” nella vita quotidiana, in qualche forma della natura, nella dimensioni delle piramidi e cose del genere ne aumenta il fascino ulteriormente.

Praticamente un trionfo della regolarità dell’impalpabile.

PPSS. Qui un bel saggio a riguardo

Cos’è un sorite?

Voi sapete cosa sia un sorite? Io, ovviamente, no.

La sua accezione etimologica è quella di mucchio, cumulo (di grano); difficilmente, tuttavia, lo troverete usato nel suo senso letterale, dato che è ormai da tradizione associato al paradosso su di esso formulato per primo da Eubulide di Mileto (che bel nome…).

Allora, cambiamo leggermente la domanda: cosa è un mucchio?

Una massa di roba, direi. Un sacco di oggetti. Si, ok, ma numericamente quando si inizia a parlare di cumulo?

Prendiamo, ad esempio, un mucchio di sabbia. E’ chiaro che se dalla massa tolgo un singolo granello quasi (… per usare un eufemismo) non me ne accorgo; il mucchio rimane un mucchio.

Tolgo un altro granello, stesso risultato. Ho sempre dinanzi a me il sorite che mi guarda. E così via, ma ad un certo punto il mucchio non sarà più un mucchio… o no?!

gold-pigments-1.gif

Dipende dai presupposti dai quali parto.

Assumiamo, ad esempio, che io ammetta che un certo numero di granelli è un mucchio e che tale numero (1 milione? 1 miliardo? poco conta) meno uno è ancora un mucchio. In tal caso mi ritrovo con la sorprendente conclusione che 1 granello è un mucchio (diciamo che la mia personalissima logica non fa particolare reticenza in questo)

Assumiamo invece che fino ad un certo numero di granelli non si parli di mucchio, dal granelli X+1 allora avrò davanti un sorite, e ci sarà proprio un singolo specifico granello che ha trasformato alcuni granelli in un mucchio (… mi convince un po’ meno).

In altri termini:

il primo granello non costituisce mucchio, il secondo neppure ecc.; o il mucchio non si costituisce mai o, se si ammette che si costituisce per l’aggiunta di un dato granello, si deve concludere che è stato quel solo granello a far essere il mucchio.

Non possiamo, con la pura ed in questo caso sterile, logica stabilire se queste affermazioni siano vere o false. Proprio perché vogliamo (è la cosa che ci viene più semplice) usare una logica “a due stadi”: o vero o falso. Il paradosso può essere “risolto” infatti ricorrendo a logiche “fuzzy” o polivalenti che ammettono anche valori intermedi fra 0 ed 1 (per i quali non valgono i principi di non contraddizione e del terzo escluso… appunto.).

Il paradosso nasce dal mettere sullo stesso pia un concetto quantitativo (un granello) con uno qualitativo (un mucchio). Sarà poi Hegel a definire il concetto di misura quale ponte fra il mondo qualitativo e quello quantitativo.

Mutatis mutandis (gongolo): se dalla nostra coscienza tolgo una singola consapevolezza posso ancora reputarmi una persona cosciente? In questo caso, ammetto, ancora più difficile; se non altro identificare il perimetro della singola consapevolezza… figuriamoci un po’ il sorite della coscienza (che mi immagino come un mucchio di consapevolezze, no!?).

WU

PS.
Vogliamo aggiungere una litigata ad un grande amore?
Vogliamo togliere una libertà dalla democrazia?

PPSS. Sulla stessa scia, e dello stesso “autore“:

  • Conosci l’uomo che si avvicina ed è incappucciato? No. Se gli togliamo il cappuccio, lo riconosci? Si. Dunque conosci e non conosci la stessa persona.
  • Un uomo con molti capelli non è certamente calvo. Se a quest’uomo cade un capello, egli non diventa calvo. Tuttavia se, uno dopo l’altro, i capelli continuano a cadere l’uomo diventerà calvo. Ma quindi quand’è che un uomo può essere definito calvo? La differenza tra calvo e non-calvo risiede in un solo capello?
  • Un uomo possiede ciò che non ha perso. Un uomo non ha perso le corna, dunque le ha.

1729

Era inverno e faceva freddo. Quel freddo londinese che ti entra nelle ossa. Nessuno aveva voglia di incamminarsi a piedi per le strade bagnate e grigie ed i taxi erano merce rara.

Godfrey Harold Hardy (…nome che, diciamocelo è proprio da romanzo noir…) ne cercava disperatamente uno. Ne cercava, magari, anche uno che potesse avere un bel numero, un numero con un qualche significato. Si, lui, matematico di professione e di vocazione, ci badava molto a queste cose.

Ma non era il giorno giusto per coccolare le sue fisse da matematico. Il tempo era inclemente e doveva assolutamente raggiungere l’ospedale. Li, infatti, il suo caro amico Srinivasa lo aspettava.

Srinivasa, matematico, e cultore della matematica, anche lui era costretto in quel letto da parecchio tempo per via delle sue cagionevoli, ed in continuo peggioramento, condizioni di salute. Le visite di Hardy erano, fra le poche che riceveva, quelle che gli facevano più piacere. I due potevano infatti interloquire amabilmente sui temi matematici più disparati alleviando la sofferenza della degenza di Srinivasa e stando ben alla larga da futili e vacui discorsi.

Quando finalmente Hardy arrivò in ospedale era tardi e mezzo bagnato si presentò al capezzale dell’amico raccontandogli la difficoltà di reperire un taxi in quella giornata ed il suo rammarico a dover essersi adattato a prendere il primo che passasse, senza neanche aver potuto scegliere i numero. E che tristezza, aggiunse Godfrey, nel costatare che il numero del taxi che aveva appena preso non aveva nessun interesse matematico: 1729.

Senza nessuna esitazione, dal candido letto in cui giaceva da giorni Srinivasa lo interruppe subito: “No Hardy, è un numero estremamente interessante: è il minimo intero che si può esprimere come somma di due cubi in due modi diversi!”

Hardy restò immobile e senza parole. Matematico non certo di secondo piano aveva passato tutto il tragitto in taxi a cercare di dare un senso a quel maledetto numero senza trovarlo; Srinivasa, invece, aveva immediatamente identificato il senso di quel numero.

Di li a poco Srinivasa sarebbe morto, ma il 1729 fu da quel giorno in poi battezzato numero di Hardy-Ramanujan e gettò le basi dei numeri Taxicab, nome scelto ovviamente non casualmente.

WU

PS. Cambiano registro narrativo (ammesso che il mio romanzamento precedente possa essere definito un “registro”…): 1729 è il più piccolo numero che possa essere espresso come la somma di due cubi positivi in due modi differenti.

Generalizzando 1729 è il più piccolo numero che si può rappresentare in n modi diversi come somma di due cubi positivi.

Ovvero 1729 è il più piccolo numero Taxicab. Hardy (assieme ad E.M. Wright), evidentemente molto segnato dall’episodio, ha poi dimostrato che esiste un Taxicab per ogni valore di n. La cosa però non aiuta a trovarne i valori.

Ad oggi gli unici Taxicab conosciuti sono cinque, precisamente quelli per n<6. Ta(2) = 1729 (geniale intuizione…); Ta(3)= 87539319 (che ci da subito una rapida idea di quanto possano essere maledettamente grandi i numeri Taxicab… contrariamente al numero dei taxi in circolazione quando uno li cerca…).

PPSS. I numeri Taxicab fanno il paio con i numeri Cabtaxi che ne sono sostanzialmente una generalizzazione (… quante derivazioni da una geniale intuizione di una mente superiore, sulla quale conto di ritornarci, in un letto d’ospedale…).

I numeri Cabtaxi sono infatti i più piccoli interi positivi che possono essere espressi in n modi come somma di due cubi positivi o negativi o pari a 0. I numeri Cabtaxi ad oggi conosciuti sono quelli fino ad n=10. Cabtaxi(1) = 1 (ovviamente) e Cabtaxi(2)=91 (enjoy).

The Euler line

Ortocentro (punto di incontro delle altezze), baricentro (punto di incontro delle mediane) e circocentro (incontro degli assi dei lati) di un triangolo non sono parolacce. Per alcuni sono parole sanscrite, per altri reminiscenze dei tempi della scuola, per pochissimi punti geometrici con un significato. Direi che per nessuno sono punti familiari nel disegno di un cerchio o di un triangolo.

Ad ogni modo, a parte il loro significato geometrico è affascinante (e non lo scopro di certo io) vedere come questi punti, che parrebbero avere un significato abbastanza arbitrario, in realtà si dispongono docilmente su una unica retta: la retta di Eulero:

“Start with any triangle, draw the smallest circle that contains the triangle and find its center. Find the center of mass of the triangle — the point where the triangle, if cut out of a piece of paper, would balance on a pin. Draw the three altitudes of the triangle (the lines from each corner perpendicular to the opposite side), and find the point where they all meet. The theorem is that all three of the points you just found always lie on a single straight line, called the ‘Euler line’ of the triangle.”

EulerLine.png

E non è tutto; il baricentro divide anche il segmento che unisce ortocentro e circocentro in due parti che sono (lo si dimostra, non lo si intuisce) l’una il doppio dell’altra.

Vogliamo continuare? Il centro della circonferenza che passa per i tre punti medi dei lati del triangolo (il così detto cerchio di Feuerbach) indovinate dove si colloca? Giace esattamente sulla solita retta di Eulero, e divide anche a metà il segmento che va dall’ortocentro al circocentro.

E poi venitemi a dire che non c’è una bellezza intrinseca in questa faccenda della matematica (ed in questo caso della geometria) che nasconde sorprese anche in concetti assolutamente astratti ed apparentemente scorrelati. A volte mi viene il dubbio che dobbiamo ancora scoprire bene cosa c’è sotto.

WU