6174

Facciamo questo gioco:

  • Prendete un qualsiasi numero di quattro cifre, contenente almeno due cifre differenti (Se proprio vi serve potete anche inserire degli zeri anche all’inizio).
  • Ordinate le cifre in ordine decrescente e poi in ordine crescente così da ottenere due numeri di quattro cifre.
  • Sottraete il numero più piccolo da quello più grande.
  • Ripetere il processo partendo dal secondo punto.

Facciamo un esempio: 1785.

  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1578 e 8751. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 7173. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1377 e 7731. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6354. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 3456 e 6543. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 3087. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 0378 e 8730. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 8352. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 2358 e 8532. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6174. Ripetiamo.
  • I due numeri che si ottengono ordinando le cifre sono 1467 e 7641. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 6174. Ripetiamo? No, aspetta.

Abbiamo ottenuto lo stesso numero da cui siamo partiti nell’ultima iterazione?!

Potete ora provare (e sono certo non vedete l’ora con un numero a caso), ma il risultato convergerà sempre, e dico sempre, al 6174. Questo numero, una volta raggiunto da se stesso. E’ la costante di Kaprekar.

La costante è il numero a cui tende il processo sopra descritto in al massimo 7 iterazioni (inserite gli zeri alla bisogna per mantenere il numero di quattro cifre). Gli unici numeri di quattro cifre che non convergono al 6174 sono quelli con cifra ripetuta (e.g. 1111).

E’ interessante notare anche che in ogni iterazione, i due numeri che vengono coinvolti nella sottrazione possiedono la stessa somma di cifre (d’altra parte possiedono proprio le stesse cifre solo in ordine diverso), cioè 9. Quindi il risultato di ogni iterazione dell’operazione di Kaprekar è sempre un multiplo di 9.

Chi se lo aspettava che un numero apparentemente anonimo come 6174 avesse questa fantastica proprietà. Si, ma… perché? Ulteriore conferma che non credo abbiamo ancora capito fino in fondo le vere proprietà dei numeri, figuriamoci della matematica.

WU (affascinato)

PS.

Se fate lo stesso gioco per un numero di tre cifre otterrete 495 come costante di Kaprekar, mentre non avrete nessun punto fisso (anzi, ve ne sono diversi e vi sono anche diverse possibilità che il processo vada in loop) per numeri di cinque cifre o superiori.

Per quelli di cinque cifre vi sono tre possibili loop con altrettanti punti fissi:

  • 71973→83952→74943→62964→71973
  • 75933→63954→61974→82962→75933
  • 59994→53955→59994

Ma la cosa forse più strana è che tale costante non esiste neanche per i numeri di due cifre! Cosa avranno di speciale i numeri di tre e quattro cifre?

Un pensiero su “6174

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