Treccia parametrica

Torno (dopo qui) a sguazzare un po nelle forme parametriche. Questa volta mi impelago nelle trecce.

Quelle dei capelli di una bella mora mi attirano decisamente di più, ma le trovo meno alla mia portata. Quella di casearia natura quasi mi istigano ad eliminarle, e pertanto ne giovo per un troppo breve lasso di tempo. I fili, quelli si che sono durevoli e raggiungibili trecce, ma in fondo vuoi mettere la bellezza di disegnarne qualcuna, così a caso?

E quindi, forma parametrica abbastanza semplice, cioè… forse no.
Allora, prima definisco un parametro p(t):

p(t) =
{1 + cosnt1*Cos[t*const2])*Cos[t],
(1 + cosnt1*Cos[t*const2])*Sin[t],
cosnt1*Sin[t*const2]}

dove cosnt1 e cosnt2 sono due parametri (eh, eh, esagero!), Il primo mi dice quanto la mia treccia è diversa da un filo singolo, mentre il secondo mi dice quanto è schiacciata la mia treccia, ovvero se i vari fili sono più o meno inclinati. t è ovviamente la variabile (periodica) che fa si che la treccia sia un qualcosa di chiuso.

Una volta che ho p(t) ne faccio derivata prima (p’) e seconda (p”). Qui le ometto onde evitare che lo schermo del vostro pc/mac/cel/Iqualcosa sia irrimediabilmente colpito da voi stessi con un ascia.

Mi costruisco quindi (dot e cross sono i prodotti scalare e vettore rispettivamente):

A = p’/radice(p’^2)
B = p”*(p’dot p’) – p’*(p’dot p”)
C = B/radice(B^2)
D = A cross C

Quindi a questo punto una treccia è semplicemente:

treccia = p(t) + const3*(C*cos(theta)+D*sin(theta)

Dove const3 mi dice quanto sono ciccioni i fili della mia treccia e theta è la variabile che fa dei miei fili dei tubi…

Ora abbiamo tutto. Theta va da se che non può che essere tra 0 e 2pi, mentre il resto… boh.

Ho arbitrariamente deciso (dopo qualche sana prova) che const3 = 0.04*const2 così da far sembrare la mia treccia sempre bella piena anche quando faccio fare pochi giri ai fili. E così mi riduco di uno i miei paramatri liberi.

Con un po di prove veloci mi accorgo subito che const1 non può essere minore di 0 (praticamente un disco) e maggiore di 1 (la treccia diventa una specie di gomitolo di lana…). Nella immagine sotto tre casi più un po meno patologici con const1 = [0.2, 0,5, 0,8]

treccia1

A questo punto, per fare un po di elucubrazioni, fisso const1 = 0.3 e gioco con const2. Questa la prenda come 11/x e faccio variare x. Ah, la cosa mi porta automaticamente a definire l’intervallo di esistenza di t come [0 2*x*pi].

treccia2.png

Secondo me siamo al limite per una chiamata alla neuro, ma se avete ancora voglia di giocare con altri parametri sono convinto che la treccia riservi altre sorprese. Ecco sotto qualche esempio a caso (tanto per suscitare un po di curiosità).

treccia3

WU

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